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Vierpoltheorie

Grundbegriffe

Vierpol

Voraussetzungen:

  • lineare und passive Netzwerke
  • sinusförmiger Betrieb

Vierpol: elektrisches Netzwerk mit genau 4 von außen zugänglichen Klemmen (Polen)

alt: "Allgemeiner Vierpol", x:2

Im Allgemeinen gilt:

\[ \underline I_1 \neq \underline I_2 \neq \underline I_3 \neq \underline I_4 \]
\[ 0 = \underline I_1 + \underline I_2 + \underline I_3 + \underline I_4 \]

Der allgemeine Vierpol wird durch 3 unabhängige Klemmenströme und 3 unabhängige Klemmenspannungen beschrieben.

Zweitor

Zweitore sind eine spezielle Form der Vierpole

alt: "Allgemeiner Zweitor", x:2

  • mit den Eingangstor (1) und Ausgangstor (2)
  • Es muss immer gelt:
\[ \underline I_1 = \underline I_1',\quad \underline I_2 = \underline I_2' \]

Das Zweitor wird durch 2 unabhängige Torspannungen U1, U2 und 2 unabhängige Torströme I1, I2 beschrieben.

In den folgenden Darstellungen sollen nurnoch Zweitore betrachtet werden.

Anwendungen für Zweitore:

  • Transformatoren
  • Filter
  • Übertragungsleitungen

Filterschaltungen

Definition

  • Als Filter werden Schaltungen bezeichnet, die ein elektrisches Signal abhängig von der Frequenz in Amplitude und Phasenlage verändert.
  • Als Eingangssignal wird die Spannung ue verwendet und das gefilterte Signal wird am Ausgang als Spannung ua ausgegeben.
  • Filter können als Zweitore beschrieben werden. Dabei ergeben sich zusätzlich die folgenden Bedingungen:

alt: "Vereinfachungen für Filter", x:2

  • Der Ausgang des Filters ist immer unbelastet. I2 = 0
  • Es besteht eine direkte Verbindungen zwischen zwei Klemmen zweier Tore.
    d. h. die Spannungen U1 und U2 haben die gleiche Massereferenz

Beschreibung

  • Die Filtereigenschaften werden durch die komplexe Funktion Frequenzgang beschrieben.
\[ \underline G(\omega) = \frac{\underline U\ped a(\omega)}{\underline U \ped e(\omega)} \]
  • Die Ortskurve ist einen mögliche Darstellungsform. Der Frequenzgang wird dabei in Realteil und Imaginärteil zerlegt.
\[ \underline G(\omega) = \mathrm{Re}\{\underline G(\omega)\} + \j\cdot \mathrm{Im}\{\underline G(\omega)\} \]
  • Aussagekräftiger ist jedoch die Zerlegung des Frequenzganges in Betrag und Phase.
\[ \underline G(\omega) = G(\omega) \cdot \e^{\j \measuredangle G (\omega)} \]
  • Der Betrag des Frequenzgangs wird im Amplitudengang dargestellt.
  • Die Phase des Frequenzgangs ist der Phasengang.
  • Die übliche Darstellung des Frequenzgangs ist das Bode-Diagramm.
  • Durch eine doppellogarithmische Darstellung des Amplitudengangs und eine einfachlogarithmische Darstellung des Phasengangs ist eine Geradenapproximation möglich.
  • Der Amplitudengang wird in Dezibel angegeben.
\[ |\underline G(\omega) |_\text{dB} = 20 \si{dB} \cdot \lg |\underline G(\omega) |\]

alt: "Beispiel eines Bode-Diagramms", x:1

Filter 1. Ordnung

alt: "RC-Tiefpass 1. Ordnung", w:40, half:1 alt: "RC-Hochpass 1. Ordnung", w:40, half:1

Aufgabe

RC-Filter 1. Ordnung
Leiten Sie den Frequenzgang des Filters her. Zeichnen Sie das Bode-Diagramm durch Anwendung der Geradeapproximation. Welche Werte für Amplitude und Phase ergeben sich bei der Grenzfrequenz?

Lösung

Bode-Diagramme

RC-Tiefpass:
x:1

RC-Hochpass:
x:1

Filter höherer Ordnung

  • Bei der Berechnung Filter höherer Ordnungen muss beachtet werden, dass die Filterstufen sich gegenseitig beeinflussen.
  • Um eine Beeinflussung zu vermeiden muss ein Impedanzwandler / Spannungsfolger eingefügt werden.

alt: "RC-Filter 2. Ordnung mit und ohne Impedanzwandler", x:2

Aufgabe

RC-Filter 2. Ordnung

Bestimmen Sie den Frequenzgang des RC-Tiefpass-Filters 2. Ordnung. Vergleichen Sie den Frequenzgang mit dem RC-Tiefpass-Filter mit zusätzlichen Impedanzwandler.

Lösung

Bode-Diagramme

Vergleich mit Filter 1. Ordnung
x:1

Vergleich mit und ohne Impedanzwandler
x:1

alt: "Bandbass-Filter in Form eines Wien-Glieds", x:2

Aufgabe

Wien-Glied

Bestimmen Sie den Frequenzgang des angegeben Wien-Gliedes.

Lösung

Bode-Diagramm

x:1

Allgemeine Zweitore

Impedanzform

Impedanzmatrix

Annahme:

  • I1 und I2 sind eingeprägte Quellströme
  • Die Reaktion daraus sind die Spannungen U1 und U2

Durch das Überlagerungsverfahren erhält man:

\[ \underline U_1 = \underline Z_{11} \, \underline I_1 + \underline Z_{12} \, \underline I_2 \]
\[ \underline U_2 = \underline Z_{21} \, \underline I_1 + \underline Z_{22} \, \underline I_2 \]

Zij ... Koeffizient, der den Einfluss von Ij auf Ui beschreibt.

Es ergibt sich die folgenden Matrixschreibweise:

\[ \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline U_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline Z_{11} & \underline Z_{12} \\ \underline Z_{21} & \underline Z_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline I_1 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Leerlauf-Eingangsimpedanz Z11

\[ \underline Z_{11} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_1}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Leerlauf-Kernimpedanz rückwärts Z12

\[ \underline Z_{12} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{I}_1 = 0} \]

Leerlauf-Kernimpedanz vorwärts Z21

\[ \underline Z_{21} = \left.\frac{\underline U_2}{\underline I_1}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Leerlauf-Ausgangsimpedanz Z22

\[ \underline Z_{22} = \left.\frac{\underline U_2}{\underline I_2}\right|_{\underline{I}_1 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \underline Z_{12} = - \underline Z_{21} \]

Aufgabe

Vierpolparameter bestimmen

Bestimmen Sie die Vierpolparameter des folgenden T-Gliedes.

x:2

Reihenschaltung von Vierpolen

Mit Hilfe der Impedanzform kann die Reihenschaltung sehr einfach berechnet werden.

alt: "Reihenschaltung zweier Vierpole", x:2

\[ [\underline Z] = [\underline Z\ped a] + [\underline Z\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen von Vierpolen

Die folgende Schaltung ist zusammengesetzt aus einem T-Glied und einen Elementar-Quervierpol. Leiten Sie die Impedanzmatrix des Elementar-Quervierpols her und berechnen Sie die Impedanzmatrix der Reihenschaltung.

x:2

Admittanzform

Admittanzmatrix

Annahme:
- U1 und U2 sind eingeprägte Quellspannungen
- Die Reaktion daraus sind die Ströme I1 und I2

\[ \underline I_1 = \underline Y_{11} \, \underline U_1 + \underline Y_{12} \, \underline U_2 \]
\[ \underline I_2 = \underline Y_{21} \, \underline U_1 + \underline Y_{22} \, \underline U_2 \]
\[ \begin{pmatrix} \underline I_1 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline Y_{11} & \underline Y_{12} \\ \underline Y_{21} & \underline Y_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline U_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Kurzschluss-Eingangsadmittanz Y11

\[ \underline Y_{11} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_1}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Kernadmittanz rückwärts Y12

\[ \underline Y_{12} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{U}_1 = 0} \]

Kurzschluss-Kernadmittanz vorwärts Y21

\[ \underline Y_{21} = \left.\frac{\underline I_2}{\underline U_1}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Ausgangsimpedanz Y22

\[ \underline Y_{22} = \left.\frac{\underline I_2}{\underline U_2}\right|_{\underline{U}_1 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \underline Y_{12} = - \underline Y_{21} \]

Parallelschaltung von Vierpolen

alt: "Parallelschaltung zweier Vierpole", x:2

\[ [\underline Y] = [\underline Y\ped a] + [\underline Y\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen von Vierpolen

Betrachten Sie die folgenden Schaltung als Parallelschaltung eines T-Gliedes mit einem Element-Längsvierpol. Berechnen Sie die beiden Admittanzmatrizen und die Admittanzmatrix der Gesamtschaltung.

x:2

Kettenform

Kettenmatrix

Vektor der Einganggrößen als Funktion des Vektors der Ausgangsgrößen:

\[ \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline A_{11} & \underline A_{12} \\ \underline A_{21} & \underline A_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline U_2 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung A11

\[ \underline A_{11} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Kernimpedanz vorwärts A12

\[ \underline A_{12} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Leerlauf Kernadmittanz vorwärts A21

\[ \underline A_{21} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Reziproke Kurzschluss-Stromübersetzung A22

\[ \underline A_{22} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \det [\underline A] = 1 \]

Kettenschaltung von Vierpolen

alt: "Kettenschaltung zweier Vierpole", x:2

\[ [\underline A] = [\underline A\ped a] [\underline A\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen der Kettenschaltung

Betrachten Sie die RC-Tiefpasschaltung 2. Ordnung als eine Kettenschaltung zweier Tiefpassglieder 1. Ordnung. Berechnen Sie die Kettenmatrizen des Einzelgliedes und der Gesamtschaltung. Welcher Zusammenhang zum Frequenzgang besteht?

x:2