Wechselgrößen

• Als Wechselgrößen werden in der Elektrotechnik zeitveränderliche Spannungen und Ströme bezeichnet.
• Zeitveränderliche Größen werden als Signale bezeichnet.
  → Ein Signal ist eine von einer physikalischen Größe (Signalträger) getragene Zeitfunktion, die einen Informationsparameter (IP) hat, der eine Größe abbildet.

Eigenschaften von Wechselgrößen

Signalform

• Es gibt viele Signalformen.
• In der Elektrotechnik werden häufig periodische Signale betrachtet.
• Typische Signalformen:

Frequenz

• Die Frequenz eines Signals gibt an, wie oft eine Signalperiode pro Zeitintervall auftritt.
• Formelzeichen: \(f\)
• Einheit: \(1\si{Hz}\)

Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer $T$. $$ f= \frac{1}{T} $$

Amplitude

• Die Amplitude des Signals gibt die Auslenkung um die Nulllage an.
• Die Amplitude wird mit den Dachsymbol gekennzeichnet:
  Amplitude einer Wechselspannung: \(\widehat u\) oder \(\widehat U\)
  Amplitude eines Wechselstroms: \(\widehat i\) oder \(\widehat I\)

Phasenverschiebung

• Die Phasenverschiebung gibt an, wie stark ein Signal gegenüber den Nullpunkt oder einem anderen Signal verschoben ist.
• Formelzeichen: \(\varphi\)
• Die Phasenverschiebung entspricht dem Winkel der Sinusschwingung.
• Einheit der Phasenverschiebung:
  • Bogenmaß: \(\varphi[^r] = 0 ... 2\pi\)
  • Grad: \(\varphi[^\circ] = 0 ... 360^\circ\)
     
• Die Phasenlaufzeit \(t'\) gibt die Zeitdauer an, die ein Signal nachläuft.

• Umrechnung in aus Phasenverschiebung:

  \[ t' = - \frac{\varphi[^r]}{2\pi\cdot f} = - \frac{\varphi[^\circ]}{360^\circ\cdot f}\]

Fourier-Reihe

• Synthese eines Rechtecksignals aus Sinussignalen
  
• Animation der Synthese eines Sägezahn-Signals
  

Alle periodischen Signale können aus Sinussignalen zusammengesetzt werden. Sinussignale sind fundamental.

Sinussignale

Sinussignal

\[ u(t) = \widehat U \cdot \sin(\omega\cdot t+\varphi) \]

\(u(t)\): Momentantwert zum Zeitpunkt \(t\), die Zeitfunktion
\(\widehat U\): Amplitude
\(\varphi\): Phasenverschiebung / Nullphase
\(\omega\): Kreisfrequenz, \(\omega = 2\pi f\)

Aufgabe

Gesucht ist die Amplitude, Frequenz und Nullphase der dargestellten Sinusschwingung. Geben Sie die Zeitfunktion der Sinusschwingung an.

Effektivwert

Effektivwert

Der Effektivwert einer Wechselspannung oder eines Wechselstromes bewirkt in einem ohmschen Widerstand den gleichen Wärmeenergieumsatz wie die äquivalente Gleichgröße.

→ Für Effektivwerte gelten alle Regeln der Gleichstromberechnung (Ohmsches Gesetz, Leistungsberechnung, Spannungsteiler, …)

Berechnung

\[ U_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{t=0}^T(u(t))^2 \mathrm dt} \]

Im Englischen: RMS (Root Mean Square)

Effektivwert eines Sinussignals

\[ U_\text{eff} = U_\text{RMS} = \frac{1}{\sqrt 2} \cdot \widehat U = \frac{\sqrt 2}{2}\cdot \widehat U \]

\[ \widehat U = \sqrt 2 \cdot U_\text{eff} \]

Aufgabe

Zeichnen Sie den typischen Verlauf einer \(230\si V\)-Netzspannung.

Leistungsberechnung im Wechselstromkreis

Leistung im Wechselstromkreis

Die Leistung in Wechselstromkreisen berechnet sich genau wie die in Gleichstromkreisen. Zu beachten ist, dass bei Berechnungen die Effektivwerte zu verwenden sind.

\[ P = U_\text{RMS} \cdot I_\text{RMS} = \frac{U_\text{RMS}^2}{R} = I_\text{RMS}^2 \cdot R \]

Erzeugung von Wechselspannungen

• Wechselspannungsgeneratoren benötigen keine Bürsten für die Energieübertragung.

• Für die Energieversorgung werden Wechselspannungsgeneratoren mit drei Phasen verwendet.

Messen von Wechselgrößen

• Zur Messung von Wechselspannungen beliebiger Kurvenformen verwendet man Oszilloskope.
• Signalform, Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung durch Oszilloskop messbar
• Multimeter messen im Wechselspannungsbereich (AC) meist nur sinusförmige Spannung in sehr eingeschränkten Frequenzbereichen (typ. 50Hz)
• Der Effektivwert der Wechselgröße wird im Multimeter angezeigt!

Aufgabe

Mit einem Oszilloskop wurde die folgenden Wechselspannung gemessen.
Welches Messergebnis würde ein Multimeter beim gleichen Signals liefern?