Laplace-Transformation und Systembetrachtungen

Regeln für die Laplace-Transformation

Linearitätssatz

\[ \mathcal L\left\{A \cdot f_1(t) + B \cdot f_2(t)\right\} = A \cdot F_1(s) + B \cdot F_2(s) \]

Korrespondenztabelle
siehe Vorlesung 3.5, Seite 6, 7

Beispiel

\[ f(t) = (5e^{-2t}+3t)\cdot \esprung(t) \]

\[ \mathcal L\{e^{-2t} \cdot \esprung(t)\} = \frac{1}{s+2} \]

\[ \mathcal L\{t \cdot \esprung(t)\} = \frac{1}{s^2} \]

\[ F(s) = \mathcal L \{f(t) \} = \frac{5}{s+2} + \frac{3}{s^2} \]

Standardsignale als Eingangssignal

Standardsignal	Dirac-Impuls	Einheitssprung
Eingangsignal	\(u(t) = \delta(t)\)	\(u(t)=\esprung(t)\)
	\(U(s) = 1\)	\(U(s)=\frac{1}{s}\)
Ausgangssignal	Gewichtsfunktion	Übergangsfunktion
	\(y(t)=g(t)\)	\( y(t)=h(t) \)
Berechnung von G(s)	\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{G(s)}{1}\)	\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{H(s)}{\frac{1}{s}}=s\cdot H(s)\)

Eigenbewegung des Systems

Charakteristisches Polynom aus der DGL

Beispiel: \( 4 \ddot y + 5 \dot y + 3y(t) = 2 \dot u + u(t) \)

1. Homogene DGL: \( 4 \ddot y + 5 \dot y + 3y(t) = 0 \)
2. Ansatz: \( y = e^{s\cdot t} \)
3. Ableitungen: \( \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dt}y(t) = s^n \cdot e^{s\cdot t} \)
4. Einsetzen: \( 4s^2 \cdot e^{s t} + 5s \cdot e^{s t} + 3 \cdot e^{s t}=0 \)
5. Charakteristisches Polynom: \( 4s^2+5s+3=0 \)

Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Entspricht den Polstellen der Übertragungsfunktion

• Einfache Nullstellen
• Mehrfache Nullstellen
• Konjugiert komplexe Nullstellen

Modi des Systems
Das System hat genau so viele Modi, wie es Nullstellen gibt.

Einfache Nullstelle (\(s_1\)): \(y_1(t) = e^{s_1 t} \cdot \esprung(t)\)
Mehrfache Nullstelle (\(s_2=s_3=s_4\)): \( y_2 = e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\), \( y_3 = t \cdot e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\), \( y_4 = t^2\cdot e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\)
Konj. kompl. Nullstellen (\( s_{5,6} = \sigma_1 \pm j\omega_1 \)):

\[ y_5 = e^{\sigma_1 t} \sin(\omega_1 t) \cdot \esprung(t) \]

\[ y_6 = e^{\sigma_1 t} \cos(\omega_1 t) \cdot \esprung(t) \]

Eigenbewegung in allgemeiner Form
Linearkombination der Modi
\(\(y_{eigen}(t) = ( C_1 \cdot e^{s_1 t} + C_2 \cdot e^{s_2 t} + \dots ) \cdot \esprung(t)\)\)

Eigenbewegung mit gegebenen Anfangswerten

1. Allgemeine Eigenbewegung mehrfach ableiten
2. Anfangswertbedingungen einsetzen
3. Gleichungssystem nach \( C_1, C_2, \)... auflösen

Beispiel

\[ \text{DGL:}\quad \dddot y +9 \ddot y + 25 \dot y + 25 y(t)= 5 \dot u + 7u(t)\]

\[ \text{Charakt. Polynom:}\quad s^3+9s^2+25s+25 = 0\]

\[ \text{Nullstellen:} \quad s_1=-5, s_{2,3}= -2 \pm j \]

\[ \text{Modi:}\quad [ e^{-5t}, e^{-2t}\sin t, e^{-2t}\cos t ] \cdot \esprung(t) \]

\[ \text{Eigenbewegung allg.:} \quad y_{eigen}=(C_1\cdot e^{-5t}+C_2\cdot e^{-2t}\sin t+C_3\cdot e^{-2t}\cos t) \cdot \esprung(t) \]

E/A-Stabilität

Ein LTI-System ist genau dann E/A-stabil, wenn für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms gilt: \( \mathcal{Re}\{s_i\}<0 \)