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Einführung in die Systemanalyse mit MATLAB und Simulink

Systeme und Simulink

  • Simulink ist ein MATLAB-Modul für die Simulation von technischen oder physikalischen Systemen.
  • Was ist ein System?
    • Struktur, die Eingangssignale in Ausgangssignale umwandelt.
    • Besitzt meist einen internen Speicher (z. B. Integrator).
  • Einfachste Form von Systemen: LTI-Systeme.
    • linear: Ist nur aus linearen Übertragungsgliedern aufgebaut
      (Addierer, Verstärker, Integratoren, Differentiatoren), alle Bauteilkennlinien sind linear.
    • zeit-invariant: Alle Bauteilparameter / Verstärkungsfaktoren bleiben während eines Versuches konstant.
      z. B. konstante Masse eines Federschwingers, konstante Kapazität eines Kondensators.

Beispiel

Leiten Sie die Differentialgleichung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems her. Wandeln Sie die Differentialgleichung in die Übertragungsfunktion um.


  • Eingangsgröße: Externe Kraft \(F_E\).
  • Ausgangsgröße: Position des Massestücks \(y\).

alt: "Herleitung", w:50

\[ m \ddot x + d \dot x + k x = F_E \]

Differentialgleichung allgemein:

\[ b_m u^{(m)}(t) + \dots + b_1 \dot u(t) + b_0 u(t) = a_n y^{(n)}(t) + \dots + a_1 \dot y(t) + a_0 y(t)\]

Übertragungsfunktion allgemein:

\[ G(s) = \frac{b_m s^m + \dots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + \dots + a_1 s + a_0} \]
\[ \rightarrow\quad G(s) = \frac{1}{m s^2 + d s + k} \]

MATLAB-Funktionen für die Systemanalyse

  • Erstellen der Übertragungsfunktion mit der tf-Funktion:
    m = 1;
    d = .5;
    k = 10;
    
    sys = tf([1], [m, d, k]);
    
  • Analyse des Systemsverhalten mit Hilfe der Polstellen der Übertragungsfunktion:

    >> pole(sys)
    ans =
      -250.0000e-003 +  3.1524e+000i
      -250.0000e-003 -  3.1524e+000i
    

    \(s_{P1,2} = -0.25 \pm 3.1524 i\)

    Mögliche Schlussfolgerungen:
    - Das System ist stabil: \(\text{Re}\{s_P\} > 0\).
    - Das System ist schwingungsfähig: \(\text{Im}\{s_P\} \neq 0\).
    - Anzeige der Sprungantwort:
    Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal des Systems, wenn der Eingang mit einem Sprung von 0 auf 1 belastete wird.

    step(sys)
    

    - Anzeige der Impulsantwort:
    Antwort des Systems auf ein unendlich starken und kurzen Impuls.
    impulse(sys)
    

    - Anzeige des Frequenzgang:
    Der Frequenzgang gibt an, wie stark das System mitschwingt, wenn ein Eingangssignal mit entsprechender Frequenz aufgeprägt wird.
    bode(sys)
    

Lösung

Interpretation:
- Bei kleinen Frequenzen schwingt das System gut mit.
- Bei großen Frequenzen kommt das System nicht mehr hinterher.
- Es gibt eine Resonanzfrequenz, bei der das Ausgangssignal um ca. 20 dB zunimmt
\(20\,\text{dB} \hat = 10\).

Systemanalyse mit Simulink

  • Starten der Simulink-Umgebung mit dem simulink-Befehl.
  • Erstellen eines neuen Modells.
  • Das System muss in Simulink als Blockschaltbild aufgebaut werden.

Lösung

  • Ein Blockschaltbild besteht in Allgemeinen aus aus folgenden Grundelementen:

    • Verstärker (Gain): \(x_A = k \cdot x_E\)
      Als Verstärkungsfaktor können Variablen aus dem Workspace verwendet werden: m, d, k.
    • Addierer (Sum): \(x_A = x_{E1} + x_{E2}\).
    • Integrator: $ x_A = \int x_E \,\mathrm d t + x_A(0)$.
  • Die Differentialgleichung muss in die Integralform umgewandelt werden, um als Blockschaltbild dargestellt werden zu können.
\[ m \ddot x + d \dot x + k x = F_E \]
\[ \ddot x = \frac{1}{m}\left( F_E - (d \dot x + k x) \right) \]
  • Aufbau:
    alt: "Simulink Aufbau System1", w:75
  • Analyse der homogenen Lösung (Übergang des Systems in den energiefreien Zustand):
    • Verwenden der Konstante 0 als Eingangssignal.
    • Setzen der Anfangswerte der Intergratoren: \(v_0\), \(x_0\).
  • Ausgangssignal kann mit dem Scope angezeigt werden.
  • Alternativ wird die Variable simout in den MATLAB-Workspace exportiert:
    plot(simout)
    
  • Verringern der Schrittweite:
    Settings → Solver → Solver details → Max step size: 0.1
    alt: "Einstellen der Schrittweite", w:50

Aufgabe

Untersuchen Sie die Systemantwort bei verschiedenen Eingangssignalen.
Modellieren Sie die Systemantwort bei einer Sinus-Schwingung am Eingang. Wie verhält sich das System bei der Resonanzfrequenz?

Aufgabe

Leiten Sie die Differentialgleichung und die Übertragungsfunktion einen RC-Tiefpasses her.

alt: "RC Tiefpass-Filter", w:50

Lösung

  • Eingangssignal: \(u_E\).
  • Ausgangssignal: \(u_A = u_C\).
  • Maschengleichung:

    \[ u_E = u_R + u_C \]
  • Bauelementegleichungen:

    \[ u_R = R \cdot i \]
    \[ i = C \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} u_C \]
  • DGL:

    \[ u_E = R C\, \dot u_A + u_A \]
  • Übertragungsfunktion:

    \[ G(s) = \frac{1}{R Cs + 1} \]

Aufgabe

Lassen Sie sich die Sprungantwort, Impulsantwort und Bode-Diagramm in MATLAB anzeigen.

Lösung

R = 10e3;
C = 10e-6;

sys = tf([1], [R*C, 1]);

step(sys)

Aufgabe

Bauen Sie das System in Simulink auf. Simulieren Sie den Entladenvorgang mit folgenden Bedingungen:

\[u_E(t) = 0, u_C(0) = 5\,\text V\]

Lösung

Umstellen der Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung des Ausgangssignals:

\[ \dot u_A = \frac{1}{RC} \left( u_E - u_A \right) \]

alt: "System 2 - Aufbau in Simulink", w:50

Aufgabe

Simulation bei einer Sinusschwingung variabler Frequenz am Eingang. Was zeichnet einen Tiefpassfilter aus?