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Netzwerkanalyse

Zusammenfassen von Netzwerken

  • Parallel liegende Widerstände durch die Addition der Leitwerte zusammenfassen.
  • In Reihe geschaltete Widerstände durch die Addition der Widerstandswerte zusammenfassen.
  • Ersetzen von in Reihe geschaltete Spannungsquellen durch eine Gesamtquelle
  • Ersetzen durch parallel geschaltete Stromquellen durch eine Gesamtquelle
  • Widerstände die unmittelbar parallel zu einer idealen Spannungsquelle liegen beeinflussen die Schaltung nicht und sind vernachlässigbar.
  • Gleiches gilt für unmittelbar in Reihe zu einer idealen Stromquelle liegenden Widerständen.

Topologie eines Netzwerkes

  • Zum Aufstellen der voneinander unabhängigen Gleichungen gibt es eine feste Vorgehensweise.
  • Analyse des Netzwerkes:
    • Anzahl der Knoten: k
    • Anzahl der Zweige: z (Zweige mit Stromquelle werden nicht mitgezählt!)
  • In jedem Zweig tritt ein anderen Strom auf → z unterschiedliche Ströme
  • Die k Knoten liefen jedoch nur k-1 unabhängige Knotengleichungen.
  • Um ein eindeutiges Gleichungssystem zu erhalten werden insgesamt z Gleichungen benötigt.
    → Es werden z-k+1 zusätzliche Maschengleichungen benötigt.
  • Um die z-k+1 unabhängige Maschengleichungen aufzustellen, wird das Verfahren des vollständigen Baumes verwendet.
  • Der vollständige Baum ist eine beliebige Verbindungslinie sämtlicher Knotenpunkt, ohne einen Umlauf zu schließen.
  • Die unabhängigen Maschengleichungen ergeben sich aus genau einem Verbindungszweig und beliebig vielen Zweigen des vollständigen Baumes.

Zweigstromanalyse

  • Voraussetzung: Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
  • Verfahren:
    • Aufstellen eines linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der unbekannte Zweigströme
    • Anwendung der Knoten- und Maschengleichung des Netzwerkes
  • Ziel: Ermittlung einer hinreichenden Anzahl voneinander unabhängiger Gleichungen
Rechenprogramm
  1. Übersichtliche Darstellung des Netzwerkes
  2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
  3. Zweigeströme durchnummerieren, Richtung kann beliebig festgelegt werden.
  4. k-1 Knotengleichungen aufstellen.
  5. Aufstellen der unabhängigen z-k+1 Maschengleichungen (vollständiger Baum)
  6. Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems.

Aufgabe

Netzwerkberechnungsverfahren
Führen Sie bei den folgenden beiden Netzwerken eine Zweigstromanalyse durch. Bestimmen Sie die eingezeichneten Zweigströme.

a)
x:2

b)
x:2

c)
x:2

Maschenstromanalyse

  • Voraussetzung:
    • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
    • Alle Stromquelle müssen in Spannungsquellen umgewandelt werden.
  • Verfahren:
    • Vereinfachung der Zweigstromanalyse mit dem Ziel die Dimension des linearen Gleichungssystem zu senken.
    • Einführung neuer Ströme → Maschenströme
    • Nur z-k+1 Gleichungen werden benötigt.
Rechenprogramm
  1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
  2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
  3. Wählen von z-k+1 Maschen (vollständiger Baum)
  4. Aufstellen der Maschengleichungen mit Maschenströmen.
  5. Lösen des Gleichungssystems
  6. Zweigströme ergeben sich aus der vorzeichenrichten Überlagerung der Maschenströme.

Knotenspannungsanalyse

  • Voraussetzung:
    • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
    • Alle Spannungsquellen müssen in Stromquellen umgewandelt werden.
    • ggf. können alle Widerstände in Leitwerte umgewandelt werden.
  • Verfahren:
    • Vereinfachung der Zweigstromanalyse mit dem Ziel die Dimension des linearen Gleichungssystem zu senken.
    • Einführung von Knotenspannungen (Potential eines Knotens gegen Masse)
    • Nur k-1 Gleichungen werden benötigt.
Rechenprogramm
  1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
  2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
  3. Festlegen eines Knotenpunktes als Bezugsknoten 0 / „Masse“
  4. Einzeichnen der Knotenspannung von jedem anderen Knoten zum Bezugsknoten (z. B. Ua, Ub, ...)
  5. Aufstellen einer Gleichung für jeden Zweigstrom, die nur von den Knotenspannungen abhängig sind.
  6. Aufstellen k-1 Knotengleichungen, Einsetzen der Zweigströme.
  7. Lösen des Gleichungssystems
  8. Zweigströme aus den in 4. erstellten Gleichungen berechnen.

Überlagerungsverfahren (Superpositionsgesetz)

  • Voraussetzung:
    • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
    • Keine Leistungsberechnung (nicht linear)
  • Verfahren:
    • Berechnung des Netzwerkes nur mit einfach Gesetzen der Elektrotechnik (Ohmsches Gesetz, Stromteiler, Spannungsteiler)
    • Die Wirkung jeder Quelle auf das Netzwerk wird einzeln bestimmt.
    • Die ermittelten Teilströme jeder Einzelbetrachtung werden vorzeichenrichtig überlagert.
Rechenprogramm
  1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
  2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
  3. Für jede Quelle im Netzwerk:
    1. Alle Quellen außer die ausgewählte Quelle werden deaktiviert.
      Spannungsquelle → Kurzschluss, Stromquelle → offene Leitung
    2. Alle Teilströme (I1I, I2I, ...) werden vorzeichenrichtig bestimmt.
  4. Die Teilströme werden zusammenaddiert und es ergeben sich die Zweigströme:
    I1 = I1I + I1II + ...
    I2 = I2I + I2II + ...
    ...

Aufgabe

Netzwerk für Überlagerungsverfahren
Berechnen Sie alle Zweigströme mit dem Überlagerungsverfahren.
x:2