Elektrische Spule

Definition

• Wird ein Draht (zylindrisch) gewickelt, so entsteht das elektrische Bauelement Spule.
• Fließt ein Strom durch die Spule bildet sich ein 3-dimensionales magnetisches Feld heraus.

• Eine Veränderung des Stromes führt zu einer Änderung des Magnetfeldes um die Spule.
• Ein sich änderndes Magnetfeld induziert eine Spannung in der Spule, die dem ursprünglichen Stromfluss entgegen wirkt.
• Diese Eigenschaft wird als Induktivität bezeichnet.
• Formelzeichen: \(L\)
• Einheit: \(1\si H = 1\si{\Omega\cdot s}\) (Henry)

Bauteilgleichung

\[ u(t) = L\cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\,i(t) \]

• Bei großen Stromänderungen entstehen große Spannungen an der Spule.
• Beim Ein- und Ausschalten einer Spule können größere Spannungen als die Betriebsspannungen entstehen.
• Beispiel: Zündspule, Weidezaun

RL-Schaltung im Gleichstromkreis

Aufladen einer Spule

• Eine Spule wird über einen Serienwiderstand durch eine Spannungsquelle aufgeladen. Es baut sich der Strom in der Induktivität auf.
• Schaltplan:

• Zum Berechnen dieser Schaltung muss eine Differentialgleichung aufgestellt werden.

  \[ U_q = L \cdot \frac{\rm d}{\mathrm dt}\, i(t) + R\cdot i(t) \]

• Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion.

  \[ i(t) = \frac{U_q}{R}\cdot\left(1-e^{-t\cdot\frac{L}{R}}\right) \]
  \[ u_L(t) = U_q\cdot e^{-t\cdot\frac{L}{R}} \]

Entladen einer Spule

• Ein aufgeladene Spule (ein konstanter Spulenstrom fließt) wird über einen Widerstand entladen.
• Schaltplan:

• Differentialgleichung:

  \[ 0 = L \cdot \frac{\rm d}{\mathrm dt}\, i(t) + R\cdot i(t) \]

• Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion.

  \[ i(t) = i(0) \cdot e^{-t\cdot\frac{L}{R}} \]
  \[ u_L(t) = R\cdot i(0)\cdot e^{-t\cdot\frac{L}{R}} \]

Zeitkonstante

\[ \tau = \frac{R}{L}\]

Spule im Wechselstromkreis

\[ i_L(t) = \widehat I_L \cdot \sin(\omega t + \varphi_{i_L})\]

\[ u_L(t) = L\cdot\frac{\rm d}{\mathrm dt}\,i_L(t) \]

\[ u_L(t) = \omega L \cdot \widehat I_L \cdot \cos(\omega t + \varphi_{i_L}) \]

Phasenverschiebung an der Spule

• Fließt ein Sinusstrom durch eine Spule angelegt, so ist die resultierende Spulenspannung kosinusförmig.
• Es ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
• Der Strom läuft der Spannung um \(90^\circ\) nach.

\[ u_L(t) = \widehat U_L \cdot \sin(\omega t) \quad\rightarrow\quad i_L(t) = \widehat I_L \cdot \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \]

Blindwiderstand der Spule

• Der Blindwiderstand einer Spule gibt das Verhältnis von Spannung und Strom am Bauelement an.

\[ \widehat U_L = \omega L \cdot \widehat I_L \]

\[ X_L = \frac{\widehat U_L}{\widehat I_L} = \frac{U_\text{eff}}{I_\text{eff}} = \omega L = 2\pi fL \]

• Der Blindwiderstand der Spule ist abhängig von der Signalfrequenz.

Schwingkreis

• zwei Energieformen die ineinander umgewandelt werden
  • Pedel: kinetische und potentielle Energie
  • Schwinkreis: elektrische und magnetische Energie
• Ist der Betrag einer Energieform maximal, so ist die andere null.

Mathematische Lösung:
- Aufstellen der Differentialgleichung:

\[ 0 = u_C(t) + LC \cdot \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\,u_C(t) \]

• Welche Funktionen erfüllen eine solche DGL?

  \[ u_C(t) = \sin \omega t \quad\rightarrow\quad \ddot u_C(t) = -\omega^2 \sin \omega t \]

• Resonanzfrequenz:

  \[ \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

  oder

  \[ f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]