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Signale und Operationen mit Signalen

Standardsignale

Einheitssprung

\[ f(t) = \esprung(t) = \begin{cases} 0 & \quad t < 0 \\ 0,5 & \quad t = 0 \\ 1 & \quad t > 0 \end{cases} \]

zeitdiskret: $ f[k] = \esprung[k]=\begin{cases} 0 & \quad k < 0\ 1 & \quad k\geq 0 \end{cases} $

alt:"Einheitssprung", w:50

Dirac-Impuls

\[ f(t) = \delta(t) = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \esprung(t) \]
\[\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)}\,\mathrm d t = 1 \]

Zeitdiskret: \( f[k] = \delta[k] = \begin{cases} 1 & \quad k=0 \\ 0 & \quad k \neq 0 \end{cases} \)

alt:"Dirac-Impuls", w:50

Anstiegsfunktion

\[ f(t) = a(t) = t \cdot \esprung(t) \]
\[f[k] = a[k] = k \cdot \esprung[k]\]

alt:"Anstiegsfunktion", w:50

Operationen mit Signalen

Differentialquotient und Differenz

\[ g(t) = \frac{\rm d}{\mathrm d t} f(t) \]
\[ g[k] = f[k]-f[k-1] \]

Integral und Summe

\[g(t)= \int_{0}^{t}{f(\tau)}\,\mathrm d\tau \]
\[ g[k] = \sum_{\nu=0}^k f[\nu] \]

Skalarmultiplikation

\[g(t) = c \cdot f(t)\]

alt:"Beispiel der Skalarmultiplikation", w:50

Zeitliche Spiegelung (an der Ordinate)

\[ g(t) = f(-t) \]

alt:"Beispiel einer zeitlichen Spiegelung", w:50

Zeitliche Skalierung

zeitkontinuierlich zeitdiskret
\(g(t)= f(a \cdot t)\) \(g[k] = f[a \cdot k]\)
\(a < 1\): Streckung \(a<1\): zeitliche Interpolation
\(a> 1\): Stauchung \(a > 1\): zeitliche Dezimierung

alt:"Beispiel einer zeitlichen Skalierung", w:50

Zeitliche Verschiebung

\[ g(t)=f(t-t_0) \]

\(t_0 > 0\): Verschiebung nach rechts, Verzögerung
\(t_0 < 0\): Verschiebung nach links, Vorauseilend

alt:"Beispiel einer zeitlichen Verschiebung", w:50

Multiplikation mit dem Einheitssprung

\[ g(t) = f(t) \cdot \esprung(t) = \begin{cases} 0 & \quad t < 0 \\ f(t) & \quad t > 0 \end{cases} \]

alt:"Beispiel einer zeitlichen Verschiebung", w:50

Mehrfache Substitution der Zeitvariablen

Beispiel

  • \(x_1(t) = t^2\), \(x_2(t) = x_1(-t+1)\)
  • \(x_2\) ergibt sich durch: zeitliche Spiegelung und Verschiebung nach links.
  • Welche Reihenfolge?
  • \(x_2(t) = (-t+1)^2 = (t-1)^2\)
  • Das bedeutet \(x_1\) muss nach rechts verschoben werden, damit man \(x_2\) erhält. Das bedeutet wiederum als erstes verschieben nach links und erst dann zeitliche Spiegelung.
  • Substitution der Zeitvariablen sind entgegen der Rechenregeln abzuarbeiten!

Beispiel aus der E-Technik

\(x(t) = \sin(\omega t + \varphi)\) \(x(t) = \sin(\omega(t+t'))\)
\(\varphi \dots\) Phasenverschiebung (\(\frac{\pi}{2}, 2\pi, \dots\)) \(t' \dots\) Phasenlaufzeit (\(1\,\text s, 5\,\text{ms}, \dots\))
1. Der Originalsinus (\(T=2\pi\)) wird um \(\varphi\) verschoben. 1. Der Originalsinus wird zeitlich skaliert.
2. Zeitliche Skalierung durch \(\omega\) 2. Der Sinus wird um \(t'\) verschoben.

Darstellung eines Signals als Impulsfolge
alt:"Beispiel einer Impulsfolge", w:50

\[x[k] = \delta[k] + 2 \cdot\delta[k-1] + 3 \cdot\delta[k-2] + \delta[k-3]\]