Betrachtungen spezieller Zweipole

Frequenzverhalten von Zweipolen

Vorüberlegungen

• bisher: ideale Schaltelemente bei stationären Bedingungen
• für technische Anwendungen: Beschreibung des Frequenzverhalten technischer Schaltelemente
• Untersuchungen spezieller Zweipole bei Erregung mit Wechselstrom /-spannung.
• Für alle Zweipole der Elektrotechnik gilt:
  • lineare Strom-Spannungsverhalten
  • zeitlich invariante R, L und C
  • stabil

• Frequenzdarstellung:

  • Impedanz und Admittanz sind komplexe Funktionen die Abhängig von der Erregerfrequenz sind:
  \[ \underline Z(\omega) = \frac{\underline U(\omega)}{\underline I(\omega)}, \quad \underline Y(\omega) = \frac{\underline I(\omega)}{\underline U(\omega)} \]

• Zerlegen der komplexen Funktion in reelle Teilfunktionen:

  • Real- und Imaginärteil (Darstellung als Ortskurve)
  \[ \underline Z(\omega) = \mathrm{Re}\{\underline Z\}(\omega) + \j\cdot \mathrm{Im}\{\underline Z\}(\omega) \]
  • Betrag- und Phase (Darstellung als Frequenzgang)
  \[ \underline Z = Z(\omega) \cdot \e^{\j \varphi_Z (\omega)} \]

  mit Z(ω): Betragscharakteristik (Amplitudengang) und ϕ_Z(ω): Phasencharakteristik (Phasengang)

Frequenzverhalten der Grundbauelemente R, L, C

Aufgabe

Frequenzverhalten der Grundbauelemente
Leiten sie das Frequenzverhalten der Grundbauelemente der Elektrotechnik her. Zeichen Sie jeweils die Impedanz-Ortskurve und den Amplituden- und Phasengang der Impedanz.

Reale technische Bauelemente

Schwingkreise

Allgemeines

• Energie kann sowohl im elektrischen und magnetischen Feld gespeichert werden.

  \[ W\ped m = \frac{L}{2} I^2, \quad W \ped e = \frac{C}{2} U^2 \]

• Eine Zusammenschaltung von Induktivität und Kapazität führt zu einem Schwingkreis mit Energiependelung.

• Durch die Einführung eines ohmschen Widerstandes in den Schwingkreis klingt die Schwingung ab.

Reihenschwingkreis

Aufgabe

Leiten Sie für den Reihenschwingkreis die folgenden Größen her.

• Spannungsgleichung
• Komplexe Gesamtimpedanz
• Betrag der Impedanz
• Phase der Impedanz
• Zeigerdiagramm

Parallelschwingkreis

Aufgabe

Leiten Sie für den Parallelschwingkreis die folgenden Größen her.

• Stromgleichung
• Komplexe Gesamtadmittanz
• Betrag der Admittanz
• Phase der Admittanz
• Zeigerdiagramm

Resonanzbedingung

• Resonanz ist jener Zustand eines passiven Zweipols bei dem Gesamtstrom und Gesamtspannung phasengleich sind.
• Die Blindwiderstände bzw. Blindleitwerte müssen sich bei der Resonanzfrequenz aufheben.

• Resonanzbedingung:

  \[ \mathrm{Im}\{\underline Z\} = \mathrm{Im}\{\underline Y\} = 0\]

Kenngrößen von Schwingkreisen

• Gütefaktor (Reihenschwingkreis):

  \[ Q = \frac{U_{L/C}}{U_R} | _{\omega = \omega\ped r} = \frac{\omega\ped r L}{R} = \frac{1}{\omega\ped r R C} \]

• Gütefaktor (Parallelschwingkreis):

  \[ Q = \frac{I_{L/C}}{I_R} | _{\omega = \omega\ped r} = \frac{\omega\ped r C}{G} = \frac{1}{\omega\ped r G L} \]

• Dämpfungsfaktor:

  \[ d = \frac{1}{Q} \]

• 45°-Frequenzen (∡Z = ± 45°, Re{Z} = Im{Z}):

  \[ \omega_{\pm 45^\circ} = \omega\ped r \left( \sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q}\right)^2} \pm \frac{1}{2Q} \right) \]

• Bandbreite (Frequenzintervall zwischen den beiden 45°-Frequenzen):

  \[ B_\omega = \omega_{+45^\circ} - \omega_{-45^\circ} = \frac{\omega\ped r}{Q} \]

Aufgabe

Reihenschwingkreis
Gegeben ist ein Reihenschwingkreis mit R = 10 Ω, L = 1 mH und C = 1 µF. Es wird eine Wechselspannung von 10 V der Resonanzfrequenz angelegt.

Welche Spannungswerte sind über den Bauelementen zu messen? Berechnen Sie die Resonanzfrequenz, Güte, Dämpfungsfaktor und Bandbreite.

Aufgabe

Reihenschwingkreis
In einem Reihenschwingkreis wurde bei der Resonanzfrequenz f_r = 20 kHz eine 10fach höhere Spannung am Kondensator im Vergleich zur Betriebspannung gemessen. Außerdem beträgt der ohmsche Widerstand dieses Reihenschwingkreises R = 100 Ω.

Welche Werte nehmen Kapazität und Induktivität ist in dieses Schwingkreises an?