Kondensator

Übersicht

• Der Kondensator ist ein fundamentales, passives Bauelement.
• Er besteht meist aus gegenüberliegenden Platten mit einen dazwischen befindlichen, nichtleitenden Dielektrikum.
• Die Kapazität beschreibt die Eigenschaft Ladung zu speichern.
• Formelzeichen: \(C\)
• Einheit: \(1\si F = 1\si{s/\Omega}\) (Farad)

Dimensionierung eines Kondensators

Dimensionierungsgleichung eines Kondensators

\[ C = \frac{\epsilon_0\cdot \epsilon_r \cdot A}{d} \]

\(C\)...Kapazität des Kondensators
\(\epsilon_0\)...Elektrische Feldkonstante \(\epsilon_0 = 8.854\cdot 10^{-12}\si{A\cdot s\cdot V^{-1}\cdot m^{-1}}\)
\(\epsilon_r\)...relative Permittivität
\(A\)...Fläche der Kondensatorplatten
\(d\)...Abstand der Kondensatorplatten

• relative Permittivität ist materialabhängig.

Aufgabe

Gesucht ist die Kapazität eines Luftkondensators mit einem Plattenabstand von \(0.5\si{mm}\) und einer Plattengröße von \(2\si{dm^2}\).

Bauteilgleichung

• Für jeden Zweipol der Elektrotechnik oder Elektronik gibt es eine Funktion \(U(I)\) oder \(I(U)\), die das elektrische Verhalten des Bauelementes beschreibt.
  

• Definitionsgleichung der Kapazität:

  \[ C = \frac{Q}{U} \]

• mit

  \[ i(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\, Q(t) \]

• ergibt sich die Bauteilgleichung

  \[ i(t) = C \cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\,u(t)\]

Reihenschaltung

Reihenschaltung

Werden Kondensatoren in Reihe geschaltet, so ist die Gesamtkapazität stets kleiner als die Kapazität des kleinsten Einzelkondensators.

\[ \frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}\]

Parallelschaltung

Parallelschaltung

Werden Kondensatoren parallel geschaltet, so ergibt sich die Gesamtkapazität aus der Summe der Einzelkapazitäten.

\[ C_{ges} = C_1 + C_2 + \dots + C_n\]

RC-Schaltung im Gleichstromkreis

Aufladen eines Kondensators

• Ein Kondensator wird über einen Serienwiderstand durch eine Spannungsquelle aufgeladen.
• Schaltplan:
  

• Zum Berechnen dieser Schaltung muss eine Differentialgleichung aufgestellt werden.

  \[ U_q = RC \cdot \frac{\rm d}{\mathrm dt}\, u_C(t) + u_C(t) \]

• Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion.

  \[ u_C(t) = U_q\cdot\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right) \]
  \[ i(t) = \frac{U_q}{R}\cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]

  

Entladen eines Kondensators

• Ein aufgeladener Kondensator wird über einen Widerstand entladen.
• Schaltplan:
  

• Differentialgleichung:

  \[ 0 = RC \cdot \frac{\rm d}{\mathrm dt}\, u_C(t) + u_C(t) \]

• Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion.

  \[ u_C(t) = u_C(0) \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]
  \[ i(t) = \frac{u_C(0)}{R}\cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]

  

Zeitkonstante

• Die Geschwindigkeit des Ladenvorgangs wird durch die Zeitkonstante bestimmt:

  \[ \tau = R\cdot C\]

• Relative Werte für Strom- und Spannungen können aus dem folgenden Diagramm abgelesen werden.
  

Aufgaben

Aufgabe

Der Kondensator ist auf \(25\si V\) geladen. Wie groß ist die Spannung \(4.5\si{ms}\) nach dem Schließen des Schalters?

Aufgabe

Zu welchen Zeitpunkt beträgt die Kondensatorspannung \(8\si V\)?

Aufgabe

Wie lange dauert es, bis die Spannung über den Kondensator auf \(4\si V\) angestiegen ist?

Kondensator im Wechselstromkreis

\[ u_C(t) = u_q(t) = \widehat U_C \cdot \sin(\omega t + \varphi_{u_C})\]

\[ i_C(t) = C\cdot\frac{\rm d}{\mathrm dt}\,u_C(t) \]

\[ i_C(t) = \omega C \cdot \widehat U_C \cdot \cos(\omega t + \varphi_{u_C}) \]

Phasenverschiebung am Kondensator

• Wird eine Sinusspannung an einen Kondensator angelegt, so ist der Kondensatorstrom kosinusförmig.
• Es ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
• Der Strom eilt der Spannung um \(90^\circ\) voraus.

\[ u_C(t) = \widehat U_C \cdot \sin(\omega t) \quad\rightarrow\quad i_C(t) = \widehat I_C \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \]

Blindwiderstand des Kondensators

• Der Blindwiderstand eines Kondensators gibt das Verhältnis von Spannung und Strom am Bauelement an.
• Hierbei kann sowohl mit Amplituden als auch Effektivwerten gerechnet werden.

\[ \widehat I_C = \omega C \cdot \widehat U_C \]

\[ X_C = \frac{\widehat U_C}{\widehat I_C} = \frac{U_\text{eff}}{I_\text{eff}} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} \]

• Der Blindwiderstand des Kondensators ist abhängig von der Signalfrequenz.

Aufgabe

Zeichnen Sie den Signalverlauf des Kondensatorstroms und der Kondensatorspannung.

RC-Schaltung im Wechselstromkreis

Zeigerdiagramm

Aufgabe

Berechnen Sie den Signalverlauf der beiden Teilströme \(i_R\) und \(i_C\), sowie den Gesamtstrom \(i\).

Addition von Sinussignalen

• Werden zwei um \(90^\circ\) phasenverschobene Sinusspannungen miteinander addiert, so ergibt ebenfalls eine Sinusspannung.
  \(\(i_1 = \widehat I_1\sin(\omega t)\)\)

  \[i_2 = \widehat I_2\sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)\]
  \[ i = i_1 + i_2 = \widehat I \sin(\omega t + \varphi_i) \]

• Die Berechnung der neue Amplitude und Phasenverschiebung ergibt sich aus dem Zeigerdiagramm.
  
  $$ \widehat I = \sqrt{\widehat I_1^2 + \widehat I_2^2} $$

  \[ \tan \varphi_i = \frac{\widehat I_2}{\widehat I_1} \]

Gesamtimpedanz

Gesamtimpedanz

Die Gesamtimpedanz einer Schaltung gibt das Verhältnis aus Gesamtspannung und Gesamtstromstärke an.

\[ Z = \frac{\widehat U}{\widehat I} = \frac{U_\text{eff}}{I_\text{eff}} \]

Gesamtimpedanz einer RC-Reihenschaltung

• Die Gesamtimpedanz einer RC-Zeihenschaltung lässt sich als Zeigerdiagramm darstellen.
  
• Gesamtimpedanz:
• \[ Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} \]

- Phasenverschiebung zwischen Quellspannung \(u_q\) und Gesamtstrom \(i\)

$$ \tan \varphi = \frac{X_C}{R} $$

Gesamtimpedanz einer RC-Parallelschaltung

• Gesamtimpedanz:

  \[ Z = \frac{R\cdot X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \]

• Phasenverschiebung zwischen Quellspannung \(u_q\) und Gesamtstrom \(i\)

  \[ \tan \varphi = \frac{R}{X_C} \]

Aufgabe

Gesucht sind die Effektivwerte der Teilspannungen und des Gesamtstroms.

Aufgabe

Bestimmen Sie die Impedanz, der an den Spannungsquellen angeschlossenen Schaltung. Geben Sie außerdem die Phasenverschiebung zwischen Gesamtspannung und -strom an.

Filterschaltungen

• Als Filter werden Schaltungen bezeichnet, die ein elektrisches Signal abhängig von der Frequenz in Amplitude und Phasenlage verändert.
• Als Eingangssignal wird die Spannung \(u_e\) verwendet und das gefilterte Signal wird am Ausgang als Spannung \(u_a\) ausgegeben.
  

Tiefpassfilter

• Ein Tiefpassfilter besitzt eine obere Grenzfrequenz.
• Alle Signale mit einer Frequenz über dieser Grenzfrequenz werden gedämpft.

• Alle gedämpften Signale laufen bis zu \(90^\circ\) nach.
  

Hochpassfilter

• Ein Hochpassfilter besitzt eine untere Grenzfrequenz.
• Alle Signale mit einer Frequenz unter dieser Grenzfrequenz werden gedämpft.

• Alle gedämpften Signale laufen bis zu \(90^\circ\) vor.
  

Animation siehe: https://www.falstad.com/circuit/e-filt-hipass.html