Das magnetische Feld

Größen des magnetischen Feldes

Magnetischer Fluss

• Das Magnetfeld kann durch magnetische Feldlinien beschrieben werden.
• Dicht benachbarte Feldlinien stehen für eine hohe magnetische Flussdichte, weit auseinander liegende Linien beschreiben eine geringere magnetische Flussdichte.
• Mit Eisenpulver können magnetische Feldlinien sichtbar gemacht werden.

• Formelzeichen: Φ
• Einheit: [Φ] = 1 Wb (Weber) = 1 Vs

Magnetische Flussdichte

\[ \Phi = \iint\vec B\,\d\vec A \]

• Formelzeichen: B
• Einheit: [B] = 1 T (Tesla) = 1 Vs/m²
• Größenvorstellung für magnetische Flussdichte:
  • Magnetfeld der Erde: 10^-4 T (siehe http://www.magnetic-declination.com/)
  • Ferromagnetische Kreise: 100 mT ... 2 T
  • CERN: bis 8 T

Magnetische Feldstärke

\[ \vec B = \mu \vec H = \mu_0 \mu\ped r\cdot\vec H\]

• Formelzeichen: H
• Einheit: [H] = 1 A/m

Magnetische Permeabilität

• Die magnetische Permeabilität μ (auch magnetische Leitfähigkeit) bestimmt die Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder.

• Die magnetische Permeabilität setzt sich auch relativer Permeabilität μ_r und magnetischer Feldkonstante μ₀ zusammen.

  \[ \mu = \mu_0 \mu\ped r \]

• Die relative Permeabilität ist materialabhängig.

• Magnetische Feldkonstante:

  \[ \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7} \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}} \]

Magnetische Hysterese

• In ferromagnetischen Materialien, wie Eisen, Nickel und Kobalt sind die magnetischen Domänen zufällig angeordnet.
• In einem Magnetfeld richten sie sich aus und werden zu einem Magneten.
  

• Beim Magnetisieren und Entmagnetisieren entsteht eine Hysterese:

• B_r: Magnetische Remanenz
• H_c: Koerzitivfeldstärke

Magnetische Durchflutung

• Um einen stromdurchflossenen Leiter bildet sich ein Magnetfeld aus.
  
• Das Magnetfeld kann durch eine Spule gebündelt werden:
  

\[ \Theta = \sum_\mathrm O I \]

• Formelzeichen: Θ
• Einheit: [Θ] = 1 A

Durchflutungsgesetz

\[ \oint \vec H\,\d\vec l = \sum_\mathrm O I = \Theta \]

Aufgabe

Magnetischer Kreis
Der folgende magnetische Kreis aus Dynamoblech (μ_r = 2000) wird mit einer Spule (N = 100) und einer Stromstärke (I = 500 mA) gespeist.

a) Wie groß ist unter Vernachlässigung der Streuung die Feldstärke H, die Flussdichte B und der magnetische Fluss Φ?

b) In den unteren Schenkel wird eingesägt, sodass ein Luftspalt l_Luft=1 mm entsteht. Auf welchen Wert muss der Stromfluss erhöht werden, damit der magnetische Fluss der gleiche bleibt.

Aufgabe

Magnetischer Kreis
Im folgenden magnetische Kreis aus Dynamoblech (μ_r = 2000) soll im Steg II ein magnetischer Fluss Φ₂ = 2 mVs fließen. Dieser entsteht auf Grund der Erregerspule in Steg I.

Wie groß sind die magnetischen Flüsse Φ₁ und Φ₂?
Welche Durchflutung Θ muss von der Erregerspule erzeugt werden?

Aufgabe

Magnetisches Feld einer Doppelleitung
Zwei Leiter werden vom selben Strom I₁ = I₂ in unterschiedliche Richtung durchflossen. Diese Leiter sind unendlich lang, parallel im Abstand a angeordnet.

Gesucht ist die Feldverteilung H(x) zwischen den beiden Leitern (0<x<a).

Induktion

Induktionsgesetz

Induktionsgesetz in allgemeiner Form:

\[ u\ped i = - \int_A \frac{\partial \vec B}{\partial t}\,\d \vec A \]

Induktionsgesetz in vereinfacher Form:

\[ u\ped i = - N \cdot \frac{\d \Phi}{\d t} \]

Simulation: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektromagnetische-induktion/versuche/elektromagnetische-induktion-simulation-von-phet

Aufgabe

Induktion
Eine Spule mit der Windungszahl N = 100 wird dem folgenden sich veränderlichen magnetischen Fluss ausgesetzt. Welcher Verlauf der Induktionsspannung u_i(t) ergibt sich daraus?

Lenzsche Regel

• Die induktive Quellspannung u_q = - u_i bildet bei Flusszunahme eine Rechtsschraube.
• Der von der Quellspannung angetrieben Induktionsstrom fließt entgegen.
• Lenzsche Regel:
  Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er seiner Entstehungsursache entgegengerichtet ist.
• Der Induktionsstrom erzeugt ein Magnetfeld, welches dem ursächlichen Magnetfeld entgegen wirkt.

• Experimente: https://youtu.be/k2RzSs4_Ur0?t=59

Induktivität

Herleitung

• Überlegung: Legt man an eine magnetische Spule mit zugehörigen magnetischen Kreis einen veränderlichen Strom an, so kommt es zu einer Induktionsspannung, die dem Strom entgegen wirkt.
  i → Θ → H → B → Φ → u
• Es entsteht das elektrische Bauelement - die Induktivität

Aufgabe

Induktivität
Berechnen Sie die Induktivität der Spule (N = 100), die sich im folgenden magnetische Kreis aus Dynamoblech (μ_r = 2000) befindet.

• Formelzeichen: L
• Einheit: [L] = 1 H (Henry) = 1 Vs/A
• Schaltzeichen:
  

• Bauteilgleichungen:

  \[ u_L = L \frac{\d i_L}{\d t} \]
  \[ i_L = \frac{1}{L}\int u_L\,\d t \]

Zusammenschalten von Induktivitäten

Reihenschaltung

\[ L\ped{ges} = L_1 + L_2 + \dots + L_n\]

Parallelschaltung

\[ \frac{1}{L\ped{ges}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \dots + \frac{1}{L_n}\]

Gekoppelte Spulen

• Φ₁₁: Fluss von Spule 1 durch Spule 1
• Φ₁₀: Streufluss
• Φ₁₂: Fluss von Spule 1 durch Spule 2

\[ \Phi_{12} = k_{12} \cdot \Phi_{11} \]

• k₁₂: Kopplungsfaktor zwischen Spule 1 und 2 (k < 1)
• Gegeninduktivität:

\[ M = M_{12} = M_{21} = \frac{N_2\cdot \Phi_{12}}{i_1} \]

\[ M = k_{12} \cdot \frac{N_2}{N_1} \cdot L_1 = k_{21} \frac{N_1}{N_2}\cdot L_2 \]

\[ M = k \cdot \sqrt{L_1\cdot L_2} \]

Aufgabe

In der Induktivität gespeicherte Energie
Leiten Sie die Formel her, um die in der Induktivität gespeichert Energie aus der Kapazität L und dem Strom I zu berechnen. Verwenden Sie dafür die Bauteilgleichung der Induktivität und die Definitionsgleichung der elektrischen Arbeit.

Wie viele Energie ist im magnetische Feld mit einer Induktivität von 10 mF gespeichert, wenn ein Strom von 1,5 A fließt?

Transiente Vorgänge mit Induktivitäten

• Man betrachte die folgenden Schaltung:

  

• Der Stromfluss durch die Induktivität darf niemals durch einen Schalter unterbrochen werden:
  • Der vorhandene Stromfluss sorgt für eine Induktionsspannung größer als die Betriebsspannung der Induktivität.
  • Anwendung: Weidezaun, Zündspule
• In der Schalterstellung 2 wird eine entladene Induktivität aufgeladen.
• In der Schalterstellung 1 wird eine geladene Induktivität entladen.

Ladevorgang

\[ i(t) = \frac{U\ped q}{R_1+R_2} \cdot \left(1-\mathrm{e}^{-\frac{R_1+R_2}{L}\cdot t}\right) \]

\[ u_L(t) = U\ped q \cdot \mathrm{e}^{-\frac{R_1+R_2}{L}\cdot t} \]

\[ \tau = \frac{L}{R_1+R_2} \]

Entladevorgang

\[ i(t) = i_{L_0} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{R_2}{L}\cdot t} \]

\[ u_L(t) = -i_{L_0}\cdot R_2 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{R_2}{L}\cdot t} \]

\[ \tau = \frac{L}{R_2} \]