Dehnungsmessstreifen, Wheatstone-Brücke

Formeln

• DMS = dehnungsabhängiger Widerstand

  \[\frac{\Delta R}{R} = k \varepsilon\]

• k: Dehnungsfaktor meist \(k=2\)

• Mechanische Größen

  \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\]

  Elastizitätsmodul E (Materialkonstante)
  Mechanische Spannung \(\sigma\)
  Dehnung \(\varepsilon\)

  \[ \sigma = \frac{F}{A} \]

• Wheatstone-Brücke allgemein

  \[U_A = \left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - \frac{R_3}{R_3+R_4} \right)\cdot U_E \]

• Approximation für kleine \(\Delta R\)

  \[ \frac{U_A}{U_B} = \frac{1}{4} \left( \frac{\Delta R_1}{R_1} - \frac{\Delta R_2}{R_2} + \frac{\Delta R_3}{R_3} - \frac{\Delta R_4}{R_4}\right) \]

• Mit Formel des DMS:

  \[\frac{U_A}{U_B} = \frac{k}{4} \left( \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 - \varepsilon_4\right) \]

• Viertelbrücke: \(\varepsilon_1 = \varepsilon\), \(\varepsilon_{2,3,4} = 0\)

  \[ \frac{U_A}{U_B} = \frac{k}{4} \varepsilon \]

• Halbbrücke: \(\varepsilon_1 = -\varepsilon_2 = \varepsilon\), \(\varepsilon_{3,4} = 0\)

  \[ \frac{U_A}{U_B} = \frac{k}{2} \varepsilon \]

• Vollbrücke: \(\varepsilon_1 = -\varepsilon_2 = \varepsilon_3 = -\varepsilon_4 = \varepsilon\)

  \[ \frac{U_A}{U_B} = k \cdot \varepsilon \]

Aufgabe 65

Temperaturabhängigkeit

• DMS aus Konstantan → sehr geringer Temperaturkoeffizient

• Problem: Zuleitungen aus Kupfer \(\alpha = 0{,}004 \text{ K}^{-1}\)

  \[ \frac{\Delta R_L}{R_L} = \alpha \cdot T\]

Problem
Viertelbrücke:

\[R_1 = R_0 + 2 \cdot R_L\]

\[\Delta R_1 = R_1 \cdot k\cdot \varepsilon +2 \cdot R_L \cdot \alpha \cdot T \]

Fehler durch Temperaturabhängigkeit der Leitung:

\[ \Delta \varepsilon = \frac{2\cdot R_L\cdot \alpha \cdot T}{R_1 \cdot k} \]

Lösung 1: Verwendung von Halb- oder Vollbrücke

• Widerstandänderung der Leitung wirkt additiv auf alle DMS
• Kompensation der Leitungswiderstandsänderung durch Brückenstruktur (Gleichtaktunterdrückung)
• kein Empfindlichkeits- und Nullpunktfehler

Lösung 2: Verwendung der Dreileitertechnik

• Doppelte Ausführung der Rückleitung
• Dem Widerstand \(R_2\) wird ein Leitungswiderstand hinzugefügt
• Kompensation des Nullpunktfehlers
• kleiner Empfindlichkeitsfehler bleibt

Aufgabe 66, 67, 68, 111, 127