PT1-System

• Modell: Spannungsverstärker und RC-Tiefpass

Differentialgleichung

\[R\cdot C \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} u_a(t) + u_a(t) = k \cdot u_e(t) \]

• Zeitkonstante: \(T = \tau = R\cdot C\)
• statisches Verhalten mit \(\dot u_a(t) = 0\)folgt \(u_a(t) = k \cdot u_e(t)\)

Sprungantwort

• \(u_e(t) = \widehat u_e \cdot 1(t)\)
• Durch Lösen der DGL: \(u_a(t) = \widehat u_e \cdot k \cdot (1-e^{-t/T})\)
• Endwert des Ausgangssignals: \(\widehat u_a = u_a(\infty) = \widehat u_e \cdot k\)
• Einsetzen der Zeitkonstante: \(u_a(T) = 0,6321 \cdot \widehat u_e \cdot k\)
• 95%-Einschwingzeit: \(t_{E95} = 3 \cdot T\), da \(u_a(3\cdot T) = 0,9502 \cdot \widehat u_e \cdot k\)

Übertragungfunktion

• Durch Laplace-Transformation der DGL:

  \[G(s) = \frac{k}{T\cdot s +1} \]

Frequenzgang

• Frequenzgang

\[G(j\omega) = G(s)|_{s=j\omega} = \frac{k}{j\omega T+1}\]

• Amplitudengang (Betrag des komplexen Frequenzgangs):

\[|G(j\omega)| = \frac{k}{\sqrt{1+(\omega T)^2}}\]

• Phasengang (Winkel):

\[\measuredangle G(j\omega) = - \arctan(\omega T) \]

• 3 dB-Grenzfrequenz:
  • Systemtheoretische Herkunft (Knickfrequenz im Bode-Diagramm)
  • \(\omega_g = \frac{1}{T}\)
  • Zugehörige Frequenz: \(f_g = \frac{2\pi}{T}\)
  • \(G(j\omega_g) = k/\sqrt{2}\)→ \(G(j\omega_g)|_{dB} = k|_{dB}-3 \text{ dB}\)
  • \(\measuredangle G(j\omega_g) = -45^\circ\)
• 1 dB-Grenzfrequenz:
  • \(G(j\omega_g)|_{dB} = k|_{dB}-1 \text{ dB}\)→ \(G(j\omega_g) = k \cdot 0{,}891\)
  • \(\omega_{g,-1dB} = 0{,}509 \cdot \omega_{g,-3dB} = \frac{0{,}509}{T}\)
  • \(\measuredangle G(j\omega_g) = -27^\circ\)

• Resultierende Umrechnung der Grenzfrequenz in die Einschwingzeit

  \[2\pi\cdot f_g = \omega_g = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{t_{E95}}{3}} = \frac{3}{t_{E95}}\]

  Aufgabe 86, 59, 61, 112