Komplexe Wechselstromrechnung

Wiederholung: Komplexe Zahlen

Gaußsche Zahlenebene

\[ \underline z = a + b\j, \quad a, b \in \mathbb{R}\]

Darstellungsarten einer komplexen Zahl

Kartesische Form

\[ \underline z = a + b\j, \quad a, b \in \mathbb{R}\]

Real- und Imaginärteil:

\[ a = \mathrm{Re}\{\underline z\}, \quad b = \mathrm{Im}\{\underline z\} \]

Trigonometrische Form

Umrechnung Betrag, Phase, Realteil, Imaginärteil:

\[ z = |\underline z| = \sqrt{\mathrm{Re}\{\underline z\}^2 + \mathrm{Im}\{\underline z\}^2} \]

\[ \varphi = \measuredangle z = \arctan \frac{\mathrm{Im}\{\underline z\}}{\mathrm{Re}\{\underline z\}} (+ \pi) \]

\[ \mathrm{Re}\{\underline z\} = z \cdot \cos \varphi, \quad \mathrm{Im}\{\underline z\} = z \cdot \sin \varphi \]

Trigonometrische Form:

\[ \underline z = z \cdot ( \cos \varphi + \j\sin \varphi) \]

Exponentialform

Eulersche Formel:

\[ \mathrm{e}^{\j\varphi} = \cos \varphi + \j\sin \varphi \]

Exponentialform:

\[ \underline z = z \cdot \mathrm{e}^{\j\varphi[^r]} \]

Versor-Form als Schreibweise in der Elektrotechnik:

\[ \underline z = z \angle \varphi[^\circ] \]

Aufgabe

Formen komplexer Zahlen

Geben sie für die folgenden komplexen Zahlen die kartesische Form, Real-, Imaginärteil, Betrag, Phase, trigonometrische, Exponential- und Versorform an.

a) \(\underline z_1 = 5\cdot(\cos \pi + \j \sin \pi)\)
b) \(\underline z_2 = -4 + 3\j\)
c) \(\underline z_3 = 10 \si{mA}\cdot\mathrm{e}^{\j \pi/4}\)
d) \(\underline z_4 = 5 \si V \angle 60^\circ\)

Rechenoperationen in der komplexen Zahlenebene

Konjugiert komplexe Größe

\[ \underline z = a + \j b = z \e^{\j\varphi} \]

\[ \underline z^* = a - \j b = z \e^{-\j\varphi} \]

\[ \underline z \cdot \underline z^* = z^2 \]

Addition

\[ \underline z_1 = a_1 + \j b_1, \quad \underline z_2 = a_2 + \j b_2 \]

\[ \underline z_1 + \underline z_2 = (a_1+a_2) + \j\,(b_1 + b_2) \]

Multiplikation

\[ \underline z_1 \cdot \underline z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + \j \, (a_1 b_2 + a_2 b_1) \]

\[ \underline z_1 \cdot \underline z_2 = z_1 z_2\,\e^{\j\,(\varphi_1 + \varphi_2)} \]

Division

\[ \frac{\underline z_1}{\underline z_2} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + \j \, (a_2 b_1 - b_2 a_1)}{{a_2}^2+{b_2}^2} \]

\[ \frac{\underline z_1}{\underline z_2} = \frac{z_1}{z_2} \e^{\j\,(\varphi_1-\varphi_2)} \]

Transformation in den Bildbereich

Transformation der Zeiger

Originalfunktion:

\[ x(t) = \widehat x \, \sin(\omega t + \varphi) \]

Rotierender Maximalwertzeiger:

\[ \underline{x} = \widehat x \, \e^{\j(\omega t + \varphi)} \]

Ruhender Maximalwertzeiger:

\[ \underline{\widehat x} = \widehat x \, \e^{\j\varphi} \]

Ruhender Effektivwertzeiger:

\[ \underline{X} = X \, \e^{\j\varphi} \]

Komplexer Widerstand

Komplexer Widerstand / Scheinwiderstand / Impedanz:

\[ \underline Z = \frac{\underline u}{\underline i} = \frac{\underline{\widehat u}}{\underline{\widehat i}} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = \frac{U}{I} \cdot \e^{\j(\varphi_u - \varphi_i)} \]

Wirkwiderstand:

\[ \mathrm{Re}\{\underline Z\} = R\]

Blindwiderstand / Reaktanz:

\[ \mathrm{Im}\{\underline Z\} = X\]

Komplexer Leitwert

Komplexer Leitwert / Scheinleitwert / Admittanz:

\[ \underline Y = \frac{\underline i}{\underline u} = \frac{\underline{\widehat i}}{\underline{\widehat u}} = \frac{\underline{I}}{\underline{U}} = \frac{I}{U} \cdot \e^{\j(\varphi_i - \varphi_u)} = \frac{1}{\underline Z} \]

Wirkleitwert / Konduktanz:

\[ \mathrm{Re}\{\underline Y\} = G\]

Blindleitwert / Suszeptanz:

\[ \mathrm{Im}\{\underline Y\} = B\]

Komplexer Widerstand und Leitwert der Bauelemente R, L, C

	R	L	C
Zeitbereich	\(u(t) = R \cdot i(t)\)	\(u(t) = L \cdot \frac{\d i(t)}{\d t}\)	\(u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t)\,\d t\)
Impedanz	\(\underline Z = R\)	\(\underline Z = \j \omega L\)	\(\underline Z = \frac{1}{\j\omega C}\)
Admittanz	\(\underline Y = \frac{1}{R}\)	\(\underline Y = \frac{1}{\j \omega L}\)	\(\underline Y = \j\omega C\)

Komplexe Netzwerkberechnung

Knotensatz:

\[ \sum \underline I_\text{zu} = \sum \underline I_\text{ab} \]

Maschensatz:

\[ \sum_n \underline U_n = 0 \]

Ersatzimpedanz einer Reihenschaltung:

\[ \underline Z = \sum_n \underline Z_n \]

Ersatzadmittanz einer Parallelschaltung:

\[ \underline Y = \sum_n \underline Y_n \]

Komplexer Spannungsteiler:

\[ \frac{\underline U_1}{\underline U} = \frac{\underline Z_1}{\underline Z_1+\underline Z_2} \]

Komplexer Stromteiler:

\[ \frac{\underline I_1}{\underline I\ped{ges}} = \frac{\underline Z_2}{\underline Z_1+\underline Z_2} = \frac{\underline Y_1}{\underline Y_1+\underline Y_2} \]

Aufgabe

RC-Parallelschaltung im Bildbereich
Berechnen Sie den komplexen Effektivwertzeiger der Teilströme I_R, I_C und des Gesamtstroms I. Welche komplexe Impedanz Z ist an die Spannungsquelle angeschlossen?

Tragen Sie alle Feldgrößen in ein qualitatives Zeigerdiagram ein.

Aufgabe

RC-Reihenschaltung
Berechnen Sie den Effektivwert des Stroms I und der Teilspannungen U_R und U_C.

Tragen Sie alle Feldgrößen in ein qualitatives Zeigerdiagram ein.

Aufgabe

Kapazitiver Spannungsteiler
Ein ohmscher Verbraucher R = 10 Ω ist für eine maximale Spannung U_R = 110 V ausgelegt. Durch eine Reihenschaltung mit einem Kondensator soll der Anschluss dieses Verbrauches an eine 230 V, 50 Hz Spannungsquelle ermöglicht werden. Welche Kapazität C muss dieser Kondensator aufweisen?

Aufgabe

Gesamtimpedanz
Welche Wert nimmt komplexe Gesamtimpedanz der Schaltung bei einer Frequenz von 100 Hz an?

Aufgabe

Komplexe Schaltung
Durch den Widerstand R₂ lieft ein Wechselstrom mit Effektivwert von 5 mA und einer Frequenz von 1 kHz. Welche Ströme und Spannungen bilden sich im Netzwerk aus? Zeichen Sie diese in ein quantitatives Zeigerdiagramm.

Leistungbetrachtung im Wechselstromkreis

Momentanleistung der Bauelemente R, L, C

Momentanleistung am ohmschen Widerstand

\[ p = u \cdot i \]

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \quad \rightarrow \quad u = R \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \]

\[ p = R \widehat i^2 \sin^2 (\omega t + \varphi) \]

\[ \overline p = \frac{1}{T} \int_0^T p(t)\,\d t = \frac{R \cdot \widehat i^2}{2} = R \cdot I^2\]

Momentanleistung an der Induktivität

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \quad \rightarrow \quad u = \omega L \cdot \widehat i \cos(\omega t + \varphi_i)\]

\[ p = \omega L \widehat i^2 \sin(\omega t + \varphi_i) \cdot \cos(\omega t + \varphi_i) \]

\[ \overline p = 0 \]

Momentanleistung an der Kapazität

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \quad \rightarrow \quad u = - \frac{1}{\omega C} \cdot \widehat i \cos(\omega t + \varphi_i)\]

\[ p = - \frac{i^2}{\omega C} \sin(\omega t + \varphi_i) \cdot \cos(\omega t + \varphi_i) \]

\[ \overline p = 0 \]

Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Wirkleistung

• Die Wirkleistung ist der Gleichanteil um den die Momentanleistung schwankt.
• Die Wirkleistung ergibt sich aus der am Zweipol umgesetzen Energie → irreversibler Vorgang.
• Formelzeichen: P
• Einheit: [P] = 1 W

\[ P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \]

Blindleistung

• Die Blindleistung ist der Maximalwert der um die Nulllinie schwankende Momentanleistung.
• Die Blindleistung entspricht der zwischen Erzeuger und Verbraucher hin- und herschwankenden Leistung.
• Formelzeichen: Q
• Einheit: [Q] = 1 VAr (Volt-Ampere reaktiv)

\[ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \]

Scheinleistung

• Die Scheinleistung ergibt sich aus der geometrische Addition der Wirk- und Blindleistung.
• Es handelt sich hierbei um eine reine Rechengröße!
• Formelzeichen: S
• Einheit: [S] = 1 VA (Volt-Ampere)

\[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = U \cdot I \]

Leistungfaktor

• Englisch PF, power factor

\[ \text{PF} = \cos \varphi = \frac{P}{S} \]

• Hinweis: Bei kapazitiven Lasten (φ < 0) wird der Leistungfaktor manchmal mit negativen Vorzeichen angegeben, obwohl cos φ > 0 für φ ∈ [-90°, 0°] gilt.
• Beispiel: Multimeter mit Energiemessfunktion

Komplexe Beschreibung der Wechselstromleistung

\[ \underline S = \underline U \cdot \underline I^* \]

\[ \mathrm{Re}\{\underline S\} = P, \quad \mathrm{Im}\{\underline S\} = Q \]

Aufgabe

Leistungsbetrachtung
Berechnen Sie die komplexe Scheinleistung am Widerstand und am Kondensator. Geben Sie für die Gesamtscheinleistung den Zeiger und Betrag an, die Wirk-, die Blindleistung und den Leistungsfaktor.

Blindleistungskompensation

• In der Praxis treten überwiegend induktive Lasten auf (z. B. Motoren, Transformatoren).
• Klausalkette: schlechter Wirkungsfaktor → großer Gesamtstrom → Erhöhte Wärmeverluste in Zuleitungen → Wirkschaftlichkeit nicht mehr gewährleistet.
• Ein Kondensator wird zur Blindleistungskompensation parallel zur ohmsch-induktiven Last geschaltet.

Aufgabe

Blindleistungskompensation

Ein Wechselstrommotor mit dem Leistungsfakor cos φ=0.78 nimmt bei der Netzspannung U=230 V, f=50 Hz die Wirkleistung P=3.7 kW auf.

a) Berechnen Sie die Scheinleistung S und Blindleistung Q_L des unkompensierten Motors.

b) Welche Kapazität C muss ein zum Motor parallel geschalteter Kondensator haben, damit die Blindleistung vollständig kompensiert wird?

c) Welche Kapazität C muss ein zum Motor parallel geschalteter Kondensator haben, damit der Leistungsfaktor der Anordnung auf cos φ' = 0.95 verbessert wird?