Skip to content

Signale

Allgemein

Definition: Ein Signal ist eine von einer physikalischen Größe (Signalträger) getragene Zeitfunktion, die einen Informationsparameter (IP) hat, der eine Größe abbildet.

Einteilung determinierter Signale

  zeitkontinuierlich zeitdiskret
wertkontinuierlich analoges Signale S&H-Signal
wertdiskret ADU-Signal digitales Signal

Informationsparameter einer Sinusschwingung

\[x(t) = A \cdot \sin (2\pi f \cdot t + \varphi)\]
  • Amplitude \(A\)
  • Frequenz \(f\)
  • Nullphasenwinkel \(\varphi\)

Phasenlaufzeit
Zeitliche Verzögerung entstehend durch die Phasenverschiebung \(\varphi\).

\[x(t)=\sin(\omega t + \varphi) = \sin\left(\omega\left(t+\frac \varphi \omega\right)\right) = \sin(\omega(t-\tau_{Ph}))\]

Phasenlaufzeit: \(\tau_{Ph} = - \frac \varphi \omega = -\frac{\varphi}{360^\circ \cdot f}\)

Größen einer Wechelspannung

Mittelwert

Mittelwert des Signals \(x(t)\):

\[\overline X = \frac 1 T \int_{t}^{t+T} x(\tau) \mathrm d\tau\]

Gleichrichtwert

Gleichrichtwert des Signals \(x(t)\):

\[ \overline{|X|} = \frac 1 T \int_t^{t+T} |x(\tau)| \mathrm d\tau \]

Effektivwert

Effektivwert (engl. RMS, root mean square → Wurzel des Mittelwertes der Quadrate) des Signals \(x(t)\):

\[ X_{_{eff}} = X = \sqrt{\frac 1 T \int_t^{t+T} (x(\tau))^2 \mathrm d\tau} \]

Der Effektivwert einer Wechselspannung oder eines Wechselstromes bewirkt in einem ohmschen Widerstand den gleichen Wärmeenergieumsatz wie die äquivalente Gleichgröße.

Spitzenwert

Spitzenwert, auch Amplitude des Signals \(x(t)\):

\[ \widehat x = \max{x(t)} \]

Faktoren zur Umrechnung

Formfaktor

\[ k = \frac{\text{Effektivwert}}{\text{Gleichrichtwert}} = \frac{X_{_{eff}}}{\overline{|X|}}\]

Scheitelfaktor

\[ k_s = \frac{\text{Spitzenwert}}{\text{Effektivwert}} = \frac{\widehat x}{X_{_{eff}}} \]

Beispiele

Sinusschwingung

\[\overline X = 0$$ ![alt:" $$\overline{|X|} = \frac 2 \pi \cdot\widehat x = 0{,}6366 \cdot \widehat x\]
\[X_{_{eff}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \widehat x = 0{,}7071 \cdot \widehat x\]
\[k = \frac{0{,}7071}{0{,}6366} = 1{,}1107\]
\[k_s = \frac{1}{\frac{\sqrt 2}{2}} = \sqrt{2} = 1{,}414\]

Sinusschwingung mit Gleichanteil
Effektivwert ergibt sich aus der geometrischen Summe des Gleichanteils und Effektivwert des Wechselanteils:

\[ X = \sqrt{X_{_{gleich}}^2 + X_{_{wechsel}}^2} \]

Beispiel: \(u(t) = (\sin(2 \pi t) + 1) \text V\)

\[U = \sqrt{0{,}707^2 + 1^2} \text V = 1{,}225 \text V\]

Rechtecksignal
alt:"Rechtecksignal", w:50
\(\overline X = 0\)
\(\overline{|X|} = 1\)
\(X_{_{eff}} = 1\)
\(k = 1\)
\(k_s = 1\)

Rechtecksignal mit Gleichanteil
alt:"Rechtecksignal mit Gleichanteil", w:50

\[\overline X = \frac 1 1 \cdot (\frac 1 2 \cdot 7 + \frac 1 2 \cdot 1) = 4\]
\[\overline{|X|} = \overline X = 4\]
\[X_{_{eff}} = \sqrt{\frac 1 1 \cdot (\frac 1 2 \cdot 7^2 + \frac 1 2 \cdot 1^2)} = 5\]
\[\text{alternativ: } X_{_{eff}} = \sqrt{X_{_{gleich}}^2 + X_{_{wechsel}}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\]

Abtasttheorem

\[ f_A > 2 \cdot f_{S,max}\]
  • Ein Signal ist mindestens zweimal pro Periode abzustasten.
  • Zum Erkennen der Signalform muss mit 5 ... 10 \(f_{S,max}\) abgetastet werden
  • Beim Verletzen der Abtastbedingung treten Alaising-Effekte auf.
  • Alaising-Effekte = Auftreten von Frequenzen, die nicht im Originalsignal enthalten sind

Aufgabe: 40

Pegel

Leitungsverhältnis in dB:

\[v_{P,dB} = 10 \cdot \lg\left(\frac{P_1}{P_2} \right) \text{ dB}\]

Spannungsverhältnis in dB:

\[v_{U,dB} = 20 \cdot \lg\left(\frac{U_1}{U_2} \right) \text{ dB}\]

Begründung: \(P \sim U^2, \lg(U^2) = 2\cdot \lg(U)\)

Spezielle Werte:

\(v_U\) \(v_{U,dB}\)
\(\sqrt 2\) 3,01
\(2\) 6,02
\(\frac{1}{\sqrt 2}\) -3,01
\(\frac 1 2\) -6,02

Aufgabe: 137

Einheitssignale

(Skript S. 112)

Gleichspannungssignale

  • Für kurze Strecken
  • Mögliche Spannungsbereiche: 0 ... 10 V, -10 ... 10 V
  • Maximaler Strom der Signalquelle ist begrenzt (\(I_{max}\)).
  • \(I_{max} = \frac{U_{max}}{R_{Last}}\)
  • \(R_{Last}\) möglichst hochohmig, damit Signalquelle nicht übermäßig belastet wird.

Gleichstromsignale

  • Für auch für lange Stecken (kapazitive Einkopplung verändert Spannungssignal)
  • Mögliche Strombereiche: 0 ... 20 mA, 4 ... 20 mA
  • Signal mit lebenden Nullpunkt: 4 ... 20 mA
    • Kabelbruch-Erkennung
    • Versorgen des Sensors über Signalleitungen → Signal und Stromversorgung über zwei Leitungen
  • Maximale Spannung der Signalquelle ist begrenzt (\(U_{max}\)).
  • \(U_{max} = I_{max} \cdot R_{Last}\)
  • \(R_{Last}\) niederohmig, da die Ausgangsspannung der Signalquelle begrenzt ist.