Grundlagen

Physikalische Einheiten

• Alle physikalischen Größen besitzen eine Einheit.
• Es wird in der Regel das Internationale Einheitensystem (SI) verwendet.
• Die 7 SI-Basiseinheiten:
  • Kilogramm (kg)
  • Meter (m)
  • Sekunde (s)
  • Ampere (A)
  • Kelvin (K)
  • Mol (mol)
  • Candela (cd)
• Alle physikalischen Grundeinheiten können aus den SI-Basiseinheiten zusammengesetzt werden:
  • Geschwindigkeit: \(1\si{m/s}\)
  • Elektrische Ladung: \(1\si C = 1\si{As}\)
  • Elektrische Spannung: \(1\si V = 1\si{kg\cdot m^2 \cdot s^{-3} \cdot A^{-1}}\)

• Vorsilben der Einheiten um Größenordnungen anzupassen

  Symbol	Name	Potenz	Wert
  \(\si T\)	Tera	\(10^{12}\)	\(1\,000\,000\,000\,000\)
  \(\si G\)	Giga	\(10^{9}\)	\(1\,000\,000\,000\)
  \(\si M\)	Mega	\(10^{6}\)	\(1\,000\,000\)
  \(\si k\)	Kilo	\(10^{3}\)	\(1\,000\)
  ---	---	\(10^0\)	\(1\)
  \(\si m\)	Milli	\(10^{-3}\)	\(0.001\)
  \(\si \mu\)	Mikro	\(10^{-6}\)	\(0.000\,001\)
  \(\si n\)	Nano	\(10^{-9}\)	\(0.000\,000\,001\)
  \(\si p\)	Piko	\(10^{-12}\)	\(0.000\,000\,000\,001\)

  Beispiel:

  \[ 3.2\cdot 10^{-5}\si V = 32 \cdot 10^{-6} \si V = 32 \si{\mu V} \]

Aufgabe

Geben Sie die folgenden Größen mit der passenden Einheitenvorsilbe an:

\[ U_1 = 0.25\si V\]

\[ I_1 = 0.0145 \si A\]

\[ C_1 = 3.45 \cdot 10^{-10}\si F\]

\[ C_2 = 0.00688 \si{\mu F}\]

Elektrische Schaltkreise

Schaltzeichen

Zählpfeilsystem

Verbraucherzählpfeilsystem

• Verbraucher sind in der Regel passive Zweipole (PZP)
• Bei einem Verbraucher werden Strom- und Spannungspfeil in der Regel in die gleiche Richtung eingezeichnet.

• Ist eine der beiden Größen U oder I negativ, so wirkt der PZP aktiv.
  z. B. ein Kondensator, der entladen wird und damit der Schaltung Energie zur Verfügung stellt.

Erzeugerzählpfeilsystem

• Erzeuger sind in der Regel aktive Zweipole (AZP)
• Bei einem Erzeuger werden Strom- und Spannungspfeil in der Regel in die entgegengesetzte Richtung eingezeichnet.

• Ist eine der beiden Größen U oder I negativ, so wirkt der AZP passiv.
  z. B. eine Spannungsquelle, die geladen wird und damit der Schaltung Energie einzieht.

Elektrische Größen

Elektrische Ladung

• Formelzeichen: Q
• Einheit: [Q] = 1 C (Coulomb) = 1 As

Elektrische Spannung

• Formelzeichen: U
• Einheit: [U] = 1 V (Volt) = kg m² s^-3 A^-1

Elektrische Stromstärke

• Formelzeichen: I
• Einheit: [I] = 1 A (Ampere)

\[ I = \frac{\d Q}{\d t} \]

Elektrischer Widerstand

• Formelzeichen: R
• Einheit: [R] = 1 Ω (Ohm)
• Für einen linearen elektrischen Widerstand gilt (Ohmsches Gesetz):

\[ R = \frac{U}{I} \]

Dimensionierunggleichung des elektrischen Widerstandes

\[ R = \frac{\rho\cdot l}{A} = \frac{l}{\varkappa\cdot A} \]

l: Länge des Leiters
A: Querschnittsfläche des Leiters
ρ: spezifischer elektrischer Widerstand
ϰ: spezifische elektrische Leitfähigkeit

Elektrischer Leitwert

• Formelzeichen: G
• Einheit: [G] = 1 S (Siemens)
• Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des elektrischen Widerstandes.

\[ G = \frac{1}{R} = \frac{I}{U} \]

Elektrische Arbeit

• Formelzeichen: W
• Einheit: [W] = 1 J (Joule)

\[ W = \int_{t_1}^{t_2} U \cdot I \,\d t \]

Elektrische Leistung

• Formelzeichen: P
• Einheit: [P] = 1 W (Watt)

\[ P = \frac{\d W}{\d t} = U\cdot I \]

Wirkungsgrad

• Formelzeichen: η
• Einheitenlos

\[ \eta = \frac{W\ped{nutz}}{W\ped{ges}} = \frac{P\ped{nutz}}{P\ped{ges}}\]

Aufgabe

Kurzschluss in einer Doppelleitung
In einer elektrischen Doppelleitung kam es zu einen Kurzschluss der beiden Leitungen. Beide Leitungen bestehen aus Kupfer (ϰ=58·10⁶ S/m) mit einem Durchmesser von 1 mm. An der Stelle A ist ein ohmscher Widerstand zwischen beiden Leitungen von 2 Ω zu messen. Wie weit ist der Kurzschluss von Stelle A entfernt?

Aufgabe

Belastungsgrenze eines Widerstandes
Über einem 500 Ω-Widerstand werden 10 V angelegt. Dieser Widerstand ist für eine maximale Verlustleistung von 250 mW ausgelegt. Womit ist zu rechnen?

Welche Spannung darf maximal an diesen Widerstand angelegt werden?

Kirchhoffsche Gesetze

Knotensatz

Die Summe aller zum Knoten hin fließenden Ströme ist gleich der Summe aller vom Knoten weg fließenden Ströme.

\[ \sum I_\text{zu} = \sum I_\text{ab} \]

Beispiel

---

Beide Abbildungen stellen das gleiche elektrische Netz dar.
Knotensatz im Knoten A:

\[ I_2 + I_4 = I_1 + I_3 + I_5 \]

Maschensatz

In einem geschlossenen Strompfad ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungsabfälle und Quellspannungen gleich null.

\[ \sum_n U_n = 0 \]

Beispiel

---

\[ 0 = U_1 + U_{R_1} - U_{R_4} - U_{R_3} - U_{R_2} - U_2 \]

\[ 0 = U_1 - U_2 + R_1 I_1 - R_2 I_2 - R_3 I_3 - R_4 I_4 \]

Aufgabe

Knoten- und Maschengleichungen
Analysieren Sie die folgenden Schaltungen. Zeichnen Sie die Strom- und Spannungspfeile in logischer Richtung ein. Schreiben Sie die Knoten- und Maschengleichungen auf.

a)

b)

c)

d)

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

• Bauteile sind in Reihe geschaltet, wenn sie vom gleichen Strom durchflossen werden.
• Bauteile sind parallel geschaltet, wenn über allen Bauteilen die gleiche Spannung anliegt.

Reihenschaltung von Widerständen

Bei einer Reihenschaltung ergibt sich der Gesamtwiderstand durch die Addition aller Einzelwiderstände.

\[ R\ped{ges} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \]

→ Herleitung der Spannungsteilerregel

Spannungsteilerregel

Die Spannungsteiler-Regel gilt, wenn alle Teilwiderstände von gleichen Strom durchflossen werden: Die Teilspannungen verhalten sich zueinander wie die entsprechenden Teilwiderstände.

\[ \frac{U_{R_1}}{U_{R_2}} = \frac{R_1}{R_2} \]

\[ \frac{U_{R_1}}{U_q} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

\[ \frac{U_{R_2}}{U_q} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]

Parallelschaltung

\[ \frac{1}{R\ped{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]

\[ G\ped{ges} = G_1 + G_2 + \dots + G_n \]

Für zwei Parallelwiderstände gilt:

\[ R\ped{ges} = R_1 || R_2 = \frac{R_1\cdot R_2}{R_1 + R_2} \]

→ Herleitung der Stromteilerregel

Stromteiler-Regel

\[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{G_1}{G_2} \]

\[ \frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{G_1}{G_1+G_2} \]

\[ \frac{I_2}{I} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{G_2}{G_1+G_2}\]

Aufgabe

Zusammenfassen von Widerständsnetzwerken
Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der folgenden Schaltungen

a)

b)

c) Berechnen Sie den Gesamtstrom I.

Aufgabe

Spannungsteiler
Gesucht sind die eingezeichneten Teilspannungen.

a)

b)

c)

d)

Aufgabe

Stromteiler
Gesucht sind die Teilströme der Schaltung.

a)

b)

Innenwiderstände von Bauelementen

Spannungsquelle

• Festgelegt Quellspannung U_q
• Innenwiderstand der idealen Quelle: R_i → 0
• Innenwiderstand der realen Quelle wird in Reihe geschaltet.

Stromquelle

• Festgelegt Quellstrom I_q
• Innenwiderstand der idealen Quelle: R_i → ∞
• Innenwiderstand der realen Quelle wird parallel geschaltet.

Spannungsmessgerät (Voltmeter)

• Ein Spannungsmessgerät wird immer parallel zum Bauelement geschaltet.
• Ein ideales Spannungsmessgerät beeinflusst die zu messende Schaltung nicht (I = 0).
• Innenwiderstand des idealen Messgerätes: R_i → ∞
• Der Innenwiderstand des realen Messgerätes liegt parallel zum Messgerät. (R_i ≈ 1 MΩ)

Strommessgerät (Amperemeter)

• Ein Strommessgerät wird immer in Reihe zum Bauelement geschaltet.
• Ein ideales Strommessgerät beeinflusst die zu messende Schaltung nicht (U = 0).
• Innenwiderstand des idealen Messgerätes: R_i → 0
• Der Innenwiderstand des realen Messgerätes liegt in Reihe zum Messgerät. (R_i = 10 mΩ ... 1 kΩ)

Aufgabe

Messbereichserweiterung
Ein Voltmeters mit einem maximalen Messbereich von 10 V soll für eine Messung bis 100 V eingesetzt werden. Der Innenwiderstand des Messgerätes beträgt 100 kΩ. Wie lässt sich der Messbereich erweitern?