Vierpoltheorie

Grundbegriffe

Vierpol

Voraussetzungen:

• lineare und passive Netzwerke
• sinusförmiger Betrieb

Vierpol: elektrisches Netzwerk mit genau 4 von außen zugänglichen Klemmen (Polen)

Im Allgemeinen gilt:

\[ \underline I_1 \neq \underline I_2 \neq \underline I_3 \neq \underline I_4 \]

\[ 0 = \underline I_1 + \underline I_2 + \underline I_3 + \underline I_4 \]

Der allgemeine Vierpol wird durch 3 unabhängige Klemmenströme und 3 unabhängige Klemmenspannungen beschrieben.

Zweitor

Zweitore sind eine spezielle Form der Vierpole

• mit den Eingangstor (1) und Ausgangstor (2)
• Es muss immer gelt:

\[ \underline I_1 = \underline I_1',\quad \underline I_2 = \underline I_2' \]

Das Zweitor wird durch 2 unabhängige Torspannungen U₁, U₂ und 2 unabhängige Torströme I₁, I₂ beschrieben.

In den folgenden Darstellungen sollen nurnoch Zweitore betrachtet werden.

Anwendungen für Zweitore:

• Transformatoren
• Filter
• Übertragungsleitungen

Filterschaltungen

Definition

• Als Filter werden Schaltungen bezeichnet, die ein elektrisches Signal abhängig von der Frequenz in Amplitude und Phasenlage verändert.
• Als Eingangssignal wird die Spannung u_e verwendet und das gefilterte Signal wird am Ausgang als Spannung u_a ausgegeben.
• Filter können als Zweitore beschrieben werden. Dabei ergeben sich zusätzlich die folgenden Bedingungen:

• Der Ausgang des Filters ist immer unbelastet. I₂ = 0
• Es besteht eine direkte Verbindungen zwischen zwei Klemmen zweier Tore.
  d. h. die Spannungen U₁ und U₂ haben die gleiche Massereferenz

Beschreibung

• Die Filtereigenschaften werden durch die komplexe Funktion Frequenzgang beschrieben.

\[ \underline G(\omega) = \frac{\underline U\ped a(\omega)}{\underline U \ped e(\omega)} \]

• Die Ortskurve ist einen mögliche Darstellungsform. Der Frequenzgang wird dabei in Realteil und Imaginärteil zerlegt.

\[ \underline G(\omega) = \mathrm{Re}\{\underline G(\omega)\} + \j\cdot \mathrm{Im}\{\underline G(\omega)\} \]

• Aussagekräftiger ist jedoch die Zerlegung des Frequenzganges in Betrag und Phase.

\[ \underline G(\omega) = G(\omega) \cdot \e^{\j \measuredangle G (\omega)} \]

• Der Betrag des Frequenzgangs wird im Amplitudengang dargestellt.
• Die Phase des Frequenzgangs ist der Phasengang.
• Die übliche Darstellung des Frequenzgangs ist das Bode-Diagramm.
• Durch eine doppellogarithmische Darstellung des Amplitudengangs und eine einfachlogarithmische Darstellung des Phasengangs ist eine Geradenapproximation möglich.
• Der Amplitudengang wird in Dezibel angegeben.

\[ |\underline G(\omega) |_\text{dB} = 20 \si{dB} \cdot \lg |\underline G(\omega) |\]

Filter 1. Ordnung

Aufgabe

RC-Filter 1. Ordnung
Leiten Sie den Frequenzgang des Filters her. Zeichnen Sie das Bode-Diagramm durch Anwendung der Geradeapproximation. Welche Werte für Amplitude und Phase ergeben sich bei der Grenzfrequenz?

Lösung

Bode-Diagramme

RC-Tiefpass:

RC-Hochpass:

Filter höherer Ordnung

• Bei der Berechnung Filter höherer Ordnungen muss beachtet werden, dass die Filterstufen sich gegenseitig beeinflussen.
• Um eine Beeinflussung zu vermeiden muss ein Impedanzwandler / Spannungsfolger eingefügt werden.

Aufgabe

RC-Filter 2. Ordnung

Bestimmen Sie den Frequenzgang des RC-Tiefpass-Filters 2. Ordnung. Vergleichen Sie den Frequenzgang mit dem RC-Tiefpass-Filter mit zusätzlichen Impedanzwandler.

Lösung

Bode-Diagramme

Vergleich mit Filter 1. Ordnung

Vergleich mit und ohne Impedanzwandler

Aufgabe

Wien-Glied

Bestimmen Sie den Frequenzgang des angegeben Wien-Gliedes.

Lösung

Bode-Diagramm

Allgemeine Zweitore

Impedanzform

Impedanzmatrix

Annahme:

• I₁ und I₂ sind eingeprägte Quellströme
• Die Reaktion daraus sind die Spannungen U₁ und U₂

Durch das Überlagerungsverfahren erhält man:

\[ \underline U_1 = \underline Z_{11} \, \underline I_1 + \underline Z_{12} \, \underline I_2 \]

\[ \underline U_2 = \underline Z_{21} \, \underline I_1 + \underline Z_{22} \, \underline I_2 \]

Z_ij ... Koeffizient, der den Einfluss von I_j auf U_i beschreibt.

Es ergibt sich die folgenden Matrixschreibweise:

\[ \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline U_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline Z_{11} & \underline Z_{12} \\ \underline Z_{21} & \underline Z_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline I_1 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Leerlauf-Eingangsimpedanz Z₁₁

\[ \underline Z_{11} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_1}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Leerlauf-Kernimpedanz rückwärts Z₁₂

\[ \underline Z_{12} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{I}_1 = 0} \]

Leerlauf-Kernimpedanz vorwärts Z₂₁

\[ \underline Z_{21} = \left.\frac{\underline U_2}{\underline I_1}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Leerlauf-Ausgangsimpedanz Z₂₂

\[ \underline Z_{22} = \left.\frac{\underline U_2}{\underline I_2}\right|_{\underline{I}_1 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \underline Z_{12} = - \underline Z_{21} \]

Aufgabe

Vierpolparameter bestimmen

Bestimmen Sie die Vierpolparameter des folgenden T-Gliedes.

Reihenschaltung von Vierpolen

Mit Hilfe der Impedanzform kann die Reihenschaltung sehr einfach berechnet werden.

\[ [\underline Z] = [\underline Z\ped a] + [\underline Z\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen von Vierpolen

Die folgende Schaltung ist zusammengesetzt aus einem T-Glied und einen Elementar-Quervierpol. Leiten Sie die Impedanzmatrix des Elementar-Quervierpols her und berechnen Sie die Impedanzmatrix der Reihenschaltung.

Admittanzform

Admittanzmatrix

Annahme:
- U₁ und U₂ sind eingeprägte Quellspannungen
- Die Reaktion daraus sind die Ströme I₁ und I₂

\[ \underline I_1 = \underline Y_{11} \, \underline U_1 + \underline Y_{12} \, \underline U_2 \]

\[ \underline I_2 = \underline Y_{21} \, \underline U_1 + \underline Y_{22} \, \underline U_2 \]

\[ \begin{pmatrix} \underline I_1 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline Y_{11} & \underline Y_{12} \\ \underline Y_{21} & \underline Y_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline U_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Kurzschluss-Eingangsadmittanz Y₁₁

\[ \underline Y_{11} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_1}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Kernadmittanz rückwärts Y₁₂

\[ \underline Y_{12} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{U}_1 = 0} \]

Kurzschluss-Kernadmittanz vorwärts Y₂₁

\[ \underline Y_{21} = \left.\frac{\underline I_2}{\underline U_1}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Ausgangsimpedanz Y₂₂

\[ \underline Y_{22} = \left.\frac{\underline I_2}{\underline U_2}\right|_{\underline{U}_1 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \underline Y_{12} = - \underline Y_{21} \]

Parallelschaltung von Vierpolen

\[ [\underline Y] = [\underline Y\ped a] + [\underline Y\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen von Vierpolen

Betrachten Sie die folgenden Schaltung als Parallelschaltung eines T-Gliedes mit einem Element-Längsvierpol. Berechnen Sie die beiden Admittanzmatrizen und die Admittanzmatrix der Gesamtschaltung.

Kettenform

Kettenmatrix

Vektor der Einganggrößen als Funktion des Vektors der Ausgangsgrößen:

\[ \begin{pmatrix} \underline U_1 \\ \underline I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline A_{11} & \underline A_{12} \\ \underline A_{21} & \underline A_{22} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \underline U_2 \\ \underline I_2 \end{pmatrix} \]

Bestimmung und Bedeutung der Vierpolparameter

Reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung A₁₁

\[ \underline A_{11} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Kurzschluss-Kernimpedanz vorwärts A₁₂

\[ \underline A_{12} = \left.\frac{\underline U_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Leerlauf Kernadmittanz vorwärts A₂₁

\[ \underline A_{21} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline U_2}\right|_{\underline{I}_2 = 0} \]

Reziproke Kurzschluss-Stromübersetzung A₂₂

\[ \underline A_{22} = \left.\frac{\underline I_1}{\underline I_2}\right|_{\underline{U}_2 = 0} \]

Für passive Netzwerke gilt immer:

\[ \det [\underline A] = 1 \]

Kettenschaltung von Vierpolen

\[ [\underline A] = [\underline A\ped a] [\underline A\ped b] \]

Aufgabe

Zusammenfassen der Kettenschaltung

Betrachten Sie die RC-Tiefpasschaltung 2. Ordnung als eine Kettenschaltung zweier Tiefpassglieder 1. Ordnung. Berechnen Sie die Kettenmatrizen des Einzelgliedes und der Gesamtschaltung. Welcher Zusammenhang zum Frequenzgang besteht?