Betrachtungen spezieller Zweipole

Frequenzverhalten von Zweipolen

Vorüberlegungen

• bisher: ideale Schaltelemente bei stationären Bedingungen
• für technische Anwendungen: Beschreibung des Frequenzverhalten technischer Schaltelemente
• Untersuchungen spezieller Zweipole bei Erregung mit Wechselstrom /-spannung.
• Für alle Zweipole der Elektrotechnik gilt:
  • lineare Strom-Spannungsverhalten
  • zeitlich invariante R, L und C
  • stabil

• Frequenzdarstellung:

  • Impedanz und Admittanz sind komplexe Funktionen die Abhängig von der Erregerfrequenz sind:
  $$\underset{―}{Z}(\omega )=\frac{\underset{―}{U}(\omega )}{\underset{―}{I}(\omega )},\underset{―}{Y}(\omega )=\frac{\underset{―}{I}(\omega )}{\underset{―}{U}(\omega )}$$

• Zerlegen der komplexen Funktion in reelle Teilfunktionen:

  • Real- und Imaginärteil (Darstellung als Ortskurve)
  $$\underset{―}{Z}(\omega )=\mathrm{Re}\{\underset{―}{Z}\}(\omega )+\mathrm{j}\cdot \mathrm{Im}\{\underset{―}{Z}\}(\omega )$$
  • Betrag- und Phase (Darstellung als Frequenzgang)
  $$\underset{―}{Z}=Z(\omega )\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\phi }_Z(\omega )}$$

  mit Z(ω): Betragscharakteristik (Amplitudengang) und ϕ_Z(ω): Phasencharakteristik (Phasengang)

Frequenzverhalten der Grundbauelemente R, L, C

Aufgabe

Frequenzverhalten der Grundbauelemente
Leiten sie das Frequenzverhalten der Grundbauelemente der Elektrotechnik her. Zeichen Sie jeweils die Impedanz-Ortskurve und den Amplituden- und Phasengang der Impedanz.

Reale technische Bauelemente

Frequenzverhalten des technischen Widerstandes

Frequenzverhalten der technischen Kapazität

Frequenzverhalten der technischen Induktivität

Schwingkreise

Allgemeines

• Energie kann sowohl im elektrischen und magnetischen Feld gespeichert werden.

  $$W_{\mathrm{m}}=\frac{L}{2}{I}^2,W_{\mathrm{e}}=\frac{C}{2}{U}^2$$

• Eine Zusammenschaltung von Induktivität und Kapazität führt zu einem Schwingkreis mit Energiependelung.

Signal- und Feldverhalten eines verlustfreien LC-Schwingkreises

• Durch die Einführung eines ohmschen Widerstandes in den Schwingkreis klingt die Schwingung ab.

Reihenschwingkreis

Aufbau des Reihenschwingkreises

Aufgabe

Leiten Sie für den Reihenschwingkreis die folgenden Größen her.

• Spannungsgleichung
• Komplexe Gesamtimpedanz
• Betrag der Impedanz
• Phase der Impedanz
• Zeigerdiagramm

Frequenzverhalten des Reihenschwingkreises

Parallelschwingkreis

Aufbau des Parallelschwingkreises

Aufgabe

Leiten Sie für den Parallelschwingkreis die folgenden Größen her.

• Stromgleichung
• Komplexe Gesamtadmittanz
• Betrag der Admittanz
• Phase der Admittanz
• Zeigerdiagramm

Resonanzbedingung

• Resonanz ist jener Zustand eines passiven Zweipols bei dem Gesamtstrom und Gesamtspannung phasengleich sind.
• Die Blindwiderstände bzw. Blindleitwerte müssen sich bei der Resonanzfrequenz aufheben.

• Resonanzbedingung:

  $$\mathrm{Im}\{\underset{―}{Z}\}=\mathrm{Im}\{\underset{―}{Y}\}=0$$

Kenngrößen von Schwingkreisen

• Gütefaktor (Reihenschwingkreis):

  $$Q=\frac{U_{L/C}}{U_R}{|}_{\omega ={\omega }_{\mathrm{r}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{r}}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{r}}RC}$$

• Gütefaktor (Parallelschwingkreis):

  $$Q=\frac{I_{L/C}}{I_R}{|}_{\omega ={\omega }_{\mathrm{r}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{r}}C}{G}=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{r}}GL}$$

• Dämpfungsfaktor:

  $$d=\frac{1}{Q}$$

• 45°-Frequenzen (∡Z = ± 45°, Re{Z} = Im{Z}):

  $${\omega }_{\pm {45}^{\circ }}={\omega }_{\mathrm{r}}(\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2Q}\right)}^2}\pm \frac{1}{2Q})$$

• Bandbreite (Frequenzintervall zwischen den beiden 45°-Frequenzen):

  $$B_{\omega }={\omega }_{+{45}^{\circ }}-{\omega }_{-{45}^{\circ }}=\frac{{\omega }_{\mathrm{r}}}{Q}$$

Aufgabe

Reihenschwingkreis
Gegeben ist ein Reihenschwingkreis mit R = 10 Ω, L = 1 mH und C = 1 µF. Es wird eine Wechselspannung von 10 V der Resonanzfrequenz angelegt.

Welche Spannungswerte sind über den Bauelementen zu messen? Berechnen Sie die Resonanzfrequenz, Güte, Dämpfungsfaktor und Bandbreite.

Aufgabe

Reihenschwingkreis
In einem Reihenschwingkreis wurde bei der Resonanzfrequenz f_r = 20 kHz eine 10fach höhere Spannung am Kondensator im Vergleich zur Betriebspannung gemessen. Außerdem beträgt der ohmsche Widerstand dieses Reihenschwingkreises R = 100 Ω.

Welche Werte nehmen Kapazität und Induktivität ist in dieses Schwingkreises an?