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Betrachtungen spezieller Zweipole

Frequenzverhalten von Zweipolen

Vorüberlegungen

  • bisher: ideale Schaltelemente bei stationären Bedingungen
  • für technische Anwendungen: Beschreibung des Frequenzverhalten technischer Schaltelemente
  • Untersuchungen spezieller Zweipole bei Erregung mit Wechselstrom /-spannung.
  • Für alle Zweipole der Elektrotechnik gilt:
    • lineare Strom-Spannungsverhalten
    • zeitlich invariante R, L und C
    • stabil
  • Frequenzdarstellung:

    • Impedanz und Admittanz sind komplexe Funktionen die Abhängig von der Erregerfrequenz sind:
    Z(ω)=U(ω)I(ω),Y(ω)=I(ω)U(ω)
  • Zerlegen der komplexen Funktion in reelle Teilfunktionen:

    • Real- und Imaginärteil (Darstellung als Ortskurve)
    Z(ω)=Re{Z}(ω)+jIm{Z}(ω)
    • Betrag- und Phase (Darstellung als Frequenzgang)
    Z=Z(ω)ejφZ(ω)

    mit Z(ω): Betragscharakteristik (Amplitudengang) und ϕZ(ω): Phasencharakteristik (Phasengang)

Frequenzverhalten der Grundbauelemente R, L, C

Aufgabe

Frequenzverhalten der Grundbauelemente
Leiten sie das Frequenzverhalten der Grundbauelemente der Elektrotechnik her. Zeichen Sie jeweils die Impedanz-Ortskurve und den Amplituden- und Phasengang der Impedanz.

Reale technische Bauelemente

Frequenzverhalten des technischen Widerstandes
Frequenzverhalten des technischen Widerstandes

Frequenzverhalten der technischen Kapazität
Frequenzverhalten der technischen Kapazität

Frequenzverhalten der technischen Induktivität
Frequenzverhalten der technischen Induktivität

Schwingkreise

Allgemeines

  • Energie kann sowohl im elektrischen und magnetischen Feld gespeichert werden.

    Wm=L2I2,We=C2U2
  • Eine Zusammenschaltung von Induktivität und Kapazität führt zu einem Schwingkreis mit Energiependelung.

Signal- und Feldverhalten eines verlustfreien LC-Schwingkreises
Signal- und Feldverhalten eines verlustfreien LC-Schwingkreises

  • Durch die Einführung eines ohmschen Widerstandes in den Schwingkreis klingt die Schwingung ab.

Reihenschwingkreis

Aufbau des Reihenschwingkreises
Aufbau des Reihenschwingkreises

Aufgabe

Leiten Sie für den Reihenschwingkreis die folgenden Größen her.

  • Spannungsgleichung
  • Komplexe Gesamtimpedanz
  • Betrag der Impedanz
  • Phase der Impedanz
  • Zeigerdiagramm

Frequenzverhalten des Reihenschwingkreises
Frequenzverhalten des Reihenschwingkreises

Parallelschwingkreis

Aufbau des Parallelschwingkreises
Aufbau des Parallelschwingkreises

Aufgabe

Leiten Sie für den Parallelschwingkreis die folgenden Größen her.

  • Stromgleichung
  • Komplexe Gesamtadmittanz
  • Betrag der Admittanz
  • Phase der Admittanz
  • Zeigerdiagramm

Resonanzbedingung

  • Resonanz ist jener Zustand eines passiven Zweipols bei dem Gesamtstrom und Gesamtspannung phasengleich sind.
  • Die Blindwiderstände bzw. Blindleitwerte müssen sich bei der Resonanzfrequenz aufheben.
  • Resonanzbedingung:

    Im{Z}=Im{Y}=0

Kenngrößen von Schwingkreisen

  • Gütefaktor (Reihenschwingkreis):

    Q=UL/CUR|ω=ωr=ωrLR=1ωrRC
  • Gütefaktor (Parallelschwingkreis):

    Q=IL/CIR|ω=ωr=ωrCG=1ωrGL
  • Dämpfungsfaktor:

    d=1Q
  • 45°-Frequenzen (∡Z = ± 45°, Re{Z} = Im{Z}):

    ω±45=ωr(1+(12Q)2±12Q)
  • Bandbreite (Frequenzintervall zwischen den beiden 45°-Frequenzen):

    Bω=ω+45ω45=ωrQ

Aufgabe

Reihenschwingkreis
Gegeben ist ein Reihenschwingkreis mit R = 10 Ω, L = 1 mH und C = 1 µF. Es wird eine Wechselspannung von 10 V der Resonanzfrequenz angelegt.

Welche Spannungswerte sind über den Bauelementen zu messen? Berechnen Sie die Resonanzfrequenz, Güte, Dämpfungsfaktor und Bandbreite.

Aufgabe

Reihenschwingkreis
In einem Reihenschwingkreis wurde bei der Resonanzfrequenz fr = 20 kHz eine 10fach höhere Spannung am Kondensator im Vergleich zur Betriebspannung gemessen. Außerdem beträgt der ohmsche Widerstand dieses Reihenschwingkreises R = 100 Ω.

Welche Werte nehmen Kapazität und Induktivität ist in dieses Schwingkreises an?