Eigenschaften von Wechselgrößen

• Viele Anwendungen in der Elektrotechnik beruhen auf zeitveränderlichen Größen.
• Zu jedem Zeitpunkt t_i ist der elektrischen Größe genau ein Momentanwert oder Augenblickswert zugeordnet.
• Daher spricht man meist auch von einem Signal / Zeitsignal
  → Ein Signal ist eine von einer physikalischen Größe (Signalträger) getragene Zeitfunktion, die einen Informationsparameter (IP) hat, der eine Größe abbildet.
• Zeitveränderliche Größen werden typischerweise klein geschrieben:
• Spannungssignal / Momentanwert der Spannung: u, u(t)
• Stromsignal / Momentanwert des Stromes: i, i(t)
• Momentanwert der Leistung: p, p(t)
• Im Folgenden sollen nur periodische Signale betrachtet werden.
  • Es ergeben sich Vereinfachungen.
  • Die zu betrachtende Schaltung befindet sich im eingeschwungenen Zustand.
    (alle transienten Vorgänge sind abgeschlossen!)

Eigenschaften allgemeiner periodischer Signale

Signalform

Frequenz

• Die Frequenz eines Signals gibt an, wie oft eine Signalperiode pro Zeitintervall auftritt.
• Formelzeichen: f
• Einheit: 1 Hz (Hertz) = 1/s

• Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer T.

  \[ f= \frac{1}{T} \]

• Für ein beliebiges periodisches Signal f(t) gilt die Periodizitätbedingung:

  \[ f(t) = f(t + n\cdot T), \quad n\in\mathbb{Z}\]

Amplitude

• Die Amplitude des Signals gibt die Auslenkung um die Nulllage an.
• Die Amplitude wird mit den Dachsymbol gekennzeichnet:
  Amplitude einer Wechselspannung: \(\widehat u\) oder \(\widehat U\)
  Amplitude eines Wechselstroms: \(\widehat i\) oder \(\widehat I\)

Nullphasenwinkel

• Der Nullphasenwinkel gibt an, wie stark ein Signal gegenüber dem Nullpunkt oder einem anderen Signal verschoben ist.
• Formelzeichen: φ
• Der Nullphasenwinkel entspricht dem Winkel der Sinusschwingung.
• Einheit des Nullphasenwinkel:
  • Bogenmaß: φ[ ^r ] = 0 ... 2π
  • Grad: φ[°] = 0 ... 360°
     
• Die Phasenlaufzeit \(t'\) gibt die Zeitdauer an, die ein Signal nachläuft.

• Umrechnung aus dem Nullphasenwinkel:

  \[ t' = - \frac{\varphi[^r]}{2\pi\cdot f} = - \frac{\varphi[^\circ]}{360^\circ\cdot f}\]

Sinussignale

Fourier-Reihe

• Synthese eines Rechtecksignals aus Sinussignalen
  

• Animation der Synthese eines Sägezahn-Signals
  

• Alle periodischen Signale können aus Sinussignalen zusammengesetzt werden.
  Sinussignale sind fundamental.

Eigenschaften eines Sinussignals

\[ u(t) = \widehat u \cdot \sin(\omega\cdot t+\varphi) \]

\(u(t)\): Momentantwert zum Zeitpunkt \(t\), die Zeitfunktion
\(\widehat u\): Amplitude
\(\varphi\): Phasenverschiebung / Nullphase
\(\omega\): Kreisfrequenz, \(\omega = 2\pi f\)

Aufgabe

Eigenschaften eines Sinussignals
Gesucht ist die Amplitude, Frequenz und Nullphase der dargestellten Sinusschwingung. Geben Sie die Zeitfunktion der Sinusschwingung an.

Mittelwerte periodischer Signale

• Bei Wechselgrößen sind zu jedem Zeitpunkt andere Funktionswerte vorhanden.
• Zur Bewertung der Wirkung einer periodischen Größe über einen längeren Zeitraum werden geeignete Mittelwerte benötigt.

Arithmetischer Mittelwert

\[ \overline x = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} x(t)\,\d t \]

Interpretation:

• Der arithmetische Mittelwert gibt den Gleichanteil einer Wechselgröße an.
• Der Mittelwert eines Stromes vergleicht innerhalb einer Periode die bewegte Ladungsmenge bzw. den adäquaten Gleichstrom.

Gleichrichtwert

\[ \overline{|x|} = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} |x(t)|\,\d t \]

• Der negative Teil der Wechselgröße wird nach oben geklappt.
• Beispiel: Ausgangssignal einer Gleichrichterbrücke

Effektivwert

\[ X = X\ped{eff} = \sqrt{ \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \left(x(t)\right)^2 \,\d t } \]

Englisch: RMS (Root Mean Square)

Interpretation:
- Ein Stromfluss ist stets mit einem Energieumsatz p = R · i² verbunden.
- Der Energieumsatz der Schaltung ist dabei unabhängig von der Stromrichtung.

Der Effektivwert einer Wechselgröße bewirkt in einem ohmschen Widerstand den gleichen Wärmeumsatz wie die äquivalente Gleichgröße.

→ Für Effektivwerte gelten alle Regeln der Gleichstromberechnung (Ohmsches Gesetz, Leistungsberechnung, Spannungsteiler, …)

Effektivwert eines Sinussignals

\[ U_\text{eff} = U = \frac{\sqrt 2}{2}\cdot \widehat u \]

\[ \widehat u = \sqrt 2 \cdot U \]

Aufgabe

Mittelwerte periodischer Signale
Berechnen Sie den arithmetische Mittelwert, Gleichrichtwert und Effektivwert des folgenden periodischen Signals mit einer Periodendauer von 4 ms.

Darstellung von Sinussignalen im Zeigerdiagramm

Übersicht

• Drehzeigerdiagramm: Darstellung mehrere Sinussignale gleicher Frequenz.
• Kennwerte zur Darstellung der Sinusfunktion im Drehzeigerdiagramm
  • Art der Sinusgröße: Formelzeichen am Ende des Zeigers:
    z. B. u, i
  • Betrag der Sinusgröße: Länge des Zeigers
  • Frequenz der Sinusgröße: Winkelgeschwindigkeit des Drehzeigers
  • Phasenlage der Sinusgröße: Lage bezüglich des Zeigers (t=0) gegenüber der Phasenbezugsachse

Arten der Zeiger

Drehzeiger

• Kenngrößen: Amplitude, Frequenz, Nullphase
• Kennzeichnung: u, i

Ruhender Maximalwertzeiger

• Kenngrößen: Amplitude, Nullphase
• Kennzeichnung: \(\underline{\widehat U}\), \(\underline{\widehat I}\) oder \(\underline{\widehat u}\), \(\underline{\widehat i}\)

Ruhender Effektivwertzeiger

• Kenngrößen: Effektivwert, Nullphase
• Kennzeichnung: U, I

Für alle folgenden Darstellungen wird der ruhende Effektivwertzeiger verwendet!

Zusammenfassung der Darstellungsformen einer Wechselgröße

Form	Formelzeichen Spannung	Formelzeichen Strom
Momentanwert / Zeitsignal	u(t)	i(t)
Zeiger	U	I
Amplitude	\(\widehat u\)	\(\widehat i\)
Effektivwert / Betrag des Zeigers	U	I

Verhalten der idealen Grundschaltelemente R, L, C bei sinusförmiger Erregung

Ohmscher Widerstand

\[ u = R \cdot i \]

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \]

\[ u = R \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \]

Amplitudenvergleich:

\[ \widehat u = \widehat i \cdot R \]

Phasenvergleich:

\[ \varphi_u = \varphi_i \]

→ keine Phasenverschiebung

Induktivität

\[ u = L \cdot \frac{\d i}{\d t} \]

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \]

\[ u = \omega L \cdot \widehat i \cos(\omega t + \varphi_i) = \omega L \cdot \widehat i \sin\left(\omega t + \varphi_i + \frac{\pi}{2}\right) \]

Amplitudenvergleich:

\[ \widehat u = \widehat i \cdot \omega L \]

→ Blindwiderstand der Induktivität

\[ X_L = \omega L \]

Phasenvergleich:

\[ \varphi_u = \varphi_i + \frac{\pi}{2} \]

Kapazität

\[ u = \frac{1}{C} \int i\, \d t \]

\[ i = \widehat i \sin(\omega t + \varphi_i) \]

\[ u = - \frac{1}{\omega C} \cdot \widehat i \cos(\omega t + \varphi_i) = \frac{1}{\omega C} \cdot \widehat i \sin\left(\omega t + \varphi_i - \frac{\pi}{2}\right) \]

Amplitudenvergleich:

\[ \widehat u = \widehat i \cdot \frac{1}{\omega C} \]

→ Blindwiderstand der Kapazität

\[ X_C = \frac{1}{\omega C} \]

Phasenvergleich:

\[ \varphi_u = \varphi_i - \frac{\pi}{2} \]

Zusammenfassung

Scheinwiderstand / Impedanz eines Bauelement:

\[ Z = \frac{U}{I} = \frac{\widehat{u}}{\widehat{i}} \]

Phasenverschiebung an einem Bauelement:

\[ \varphi = \varphi_u - \varphi_i \]

Lösungsverfahren von Wechselstromgleichungen im Zeitbereich

• Die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze ist nur unter Einbeziehung der jeweiligen Phasenlage zulässig!
• Es ist mit Momentanwerten zu rechnen. Dabei entstehen Sinusgleichungen.

Aufgabe

RC-Parallelschaltung im Zeitbereich
Berechnen Sie den Signalverlauf der beiden Teilströme i_R und i_C, sowie den Gesamtstrom i.

Lösung