Das elektrische Feld

Elektrische Feldgrößen

Elektrische Feldkonstante

• Experiment: Tischtennisball in einem geladenen Plattenkondensator

• Kraftwirkung auf geladenen Teilchen: Coulombsches Gesetz

  \[ \vec F_{12} = \frac{Q_1\cdot Q_2}{4\pi\varepsilon_0\cdot r^2} \cdot \frac{\vec r_{2,1}}{|\vec r_{2,1}|} \]

• Elektrische Feldkraft:

  • Kraftwirkung auf eine Ladung Q in einem Raumpunkt:

    \[ \vec E = \frac{\vec F}{Q} \]
  • Formelzeichen: E
  • Einheit: [E] = 1 V/m
  • Spannungsfall im elektrischen Feld:
  \[ U\ped{AB} = \int\ped{A}^\mathrm{B} \vec E\,\d\vec s\]

Influenz

• Influenz: Umgruppierung der freibeweglichen Ladungsträger
• Ladungsverschiebung zur Kompensation eines äußeren Feldes
• Technische Anwendung: Abschirmung eines elektrischen Feldes durch einen Faradayschen Käfig

Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte

• Verschiebungsfluss: \(\Delta Q = \Delta \Psi\)
  • Formelzeichen: Ψ
  • Einheit: [Ψ] = 1 As = 1 C

• Verschiebungsflussdichte: Anzahl der Verschiebungsflusslinien pro Fläche

  \[ D = \frac{\d \Psi}{\d A_\bot} \]
  • Formelzeichen: D
  • Einheit: [D] = 1 As/m²

Permittivität

• Die größer der Flussdichte bei gleicher Feldstärke ist abhöngig von dem Isolator (Dielektrikum)

  \[ \vec D = \varepsilon \vec E = \varepsilon_0\varepsilon_r\cdot \vec E\]

• Dielektrizitätskonstante / Permittivitätszahl: ε_r (materialabhängig)

• Elektrische Feldkonstante:

  \[ \varepsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}\]

Kondensator

Herleitung

• Der Kondensator ist ein fundamentales, passives Bauelement.
• Er besteht meist aus gegenüberliegenden Platten mit einen dazwischen befindlichen, nichtleitenden Dielektrikum.

• Die Kapazität beschreibt die Eigenschaft Ladung zu speichern.

  \[ C = \frac{Q}{U} \]
  • Formelzeichen: C
  • Einheit: [C] = 1 F (Farad) = 1 As/V

Dimensionierung

• Aus den homogenen Feld ergibt sich die Dimensionierungsgleichung eines Plattenkondensators:

  \[ C = \frac{Q}{U} = \frac{\int \vec D\,\d \vec A }{\int \vec E\,\d \vec s} = \frac{D\cdot A}{E \cdot d} = \frac{\varepsilon\cdot A}{d}\]

  mit der Plattenfläche A und dem Plattenabstand d

Aufgabe

Dimensionierung eines Kondensators
Gesucht ist die Kapazität eines Luftkondensators mit einem Plattenabstand von 0.5 mm und einer Plattengröße von 2 dm².

Bauteilgleichung

• Für jeden Zweipol der Elektrotechnik oder Elektronik gibt es eine Funktion U(I) oder I(U), die das elektrische Verhalten des Bauelementes beschreibt.

• Bauteilgleichung des Kondensators:

  \[ i_C = C \cdot \frac{\d u_C}{\d t} \]
  \[ u_C = \frac{1}{C} \int i_C\,\d t \]

Aufgabe

Im Kondensator gespeicherte Energie
Leiten Sie die Formel her, um die im Kondensator gespeichert Energie aus der Kapazität C und der Ladespannung U zu berechnen. Verwenden Sie dafür die Bauteilgleichung des Kondensator und die Definitionsgleichung der elektrischen Arbeit.

Wie viele Energie ist in einem Kondensator mit einer Kapazität von 100 µF gespeichert, wenn dieser auf 100 V geladen ist?

Zusammenschalten von Kondensatoren

Parallelschaltung

Werden Kondensatoren parallel geschaltet, so ergibt sich die Gesamtkapazität aus der Summe der Einzelkapazitäten.

\[ C\ped{ges} = C_1 + C_2 + \dots + C_n\]

Reihenschaltung

Werden Kondensatoren in Reihe geschaltet, so ist die Gesamtkapazität stets kleiner als die Kapazität des kleinsten Einzelkondensators.

\[ \frac{1}{C\ped{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}\]

Aufgabe

Zusammenschalten von Kondensatoren
Wie groß ist die Gesamtkapazität der folgenden Schaltung.

Aufgabe

Geschichteter Kondensator

An einen Kondensator mit geschichteten Dielektrikum wird eine Spannung U = 100 V angelegt. Die Plattengröße beträgt 0,1 m². Für die Schichten gelten die folgenden Werte:
a₁ = 2 mm, ε_r,1 = 3
a₂ = 3 mm, ε_r,2 = 1
a₃ = 3 mm, ε_r,3 = 5

a) Wie groß ist die Kapazität diese Kondensators?
b) Welche Ladung wird im Kondensator gespeichert?
c) Welche Spannungverteilung ergibt sich?

Transiente Vorgänge mit Kapazitäten

• Man betrachte die folgenden Schaltung:

  

• In der Schalterstellung 1 wird eine entladene Kapazität aufgeladen.
• In der Schalterstellung 2 wird eine geladene Kapazität entladen.
• Erwartungen:
  • Es sind sich zeitveränderliche Größen in der Schaltung zu erwarten \(u_C(t), i_C(t)\)
  • Schneller Ladevorgang am Anfang.
  • Langsamer Ladevorgang, wenn die Kapazität fast vollständig geladen/entladen ist.

Ladevorgang

\[ u_C(t) = U\ped q\cdot\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\right) \]

\[ i(t) = \frac{U\ped q}{R}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]

Entladevorgang

\[ u_C(t) = u_{C_0} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]

\[ i(t) = -\frac{u_{C_0}}{R}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]

Zeitkonstante

• Die Geschwindigkeit des Ladenvorgangs wird durch die Zeitkonstante bestimmt:

  \[ \tau = R\cdot C\]

• Relative Werte für Strom- und Spannungen können aus dem folgenden Diagramm abgelesen werden.
  

Aufgabe

Entladevorgang der RC-Schaltung
Der Kondensator ist auf 25 V geladen. Wie groß ist die Spannung 4.5 ms nach dem Schließen des Schalters?

Aufgabe

Entladevorgang der RC-Schaltung
Zu welchen Zeitpunkt beträgt die Kondensatorspannung 8 V?

Aufgabe

Ladevorgang der RC-Schaltung
Wie lange dauert es, bis die Spannung über den Kondensator auf 4 V angestiegen ist?