Netzwerkanalyse

Zusammenfassen von Netzwerken

• Parallel liegende Widerstände durch die Addition der Leitwerte zusammenfassen.
• In Reihe geschaltete Widerstände durch die Addition der Widerstandswerte zusammenfassen.
• Ersetzen von in Reihe geschaltete Spannungsquellen durch eine Gesamtquelle
• Ersetzen durch parallel geschaltete Stromquellen durch eine Gesamtquelle
• Widerstände die unmittelbar parallel zu einer idealen Spannungsquelle liegen beeinflussen die Schaltung nicht und sind vernachlässigbar.
• Gleiches gilt für unmittelbar in Reihe zu einer idealen Stromquelle liegenden Widerständen.

Topologie eines Netzwerkes

• Zum Aufstellen der voneinander unabhängigen Gleichungen gibt es eine feste Vorgehensweise.
• Analyse des Netzwerkes:
  • Anzahl der Knoten: k
  • Anzahl der Zweige: z (Zweige mit Stromquelle werden nicht mitgezählt!)
• In jedem Zweig tritt ein anderen Strom auf → z unterschiedliche Ströme
• Die k Knoten liefen jedoch nur k-1 unabhängige Knotengleichungen.
• Um ein eindeutiges Gleichungssystem zu erhalten werden insgesamt z Gleichungen benötigt.
  → Es werden z-k+1 zusätzliche Maschengleichungen benötigt.
• Um die z-k+1 unabhängige Maschengleichungen aufzustellen, wird das Verfahren des vollständigen Baumes verwendet.
• Der vollständige Baum ist eine beliebige Verbindungslinie sämtlicher Knotenpunkt, ohne einen Umlauf zu schließen.
• Die unabhängigen Maschengleichungen ergeben sich aus genau einem Verbindungszweig und beliebig vielen Zweigen des vollständigen Baumes.

Zweigstromanalyse

• Voraussetzung: Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
• Verfahren:
  • Aufstellen eines linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der unbekannte Zweigströme
  • Anwendung der Knoten- und Maschengleichung des Netzwerkes
• Ziel: Ermittlung einer hinreichenden Anzahl voneinander unabhängiger Gleichungen

Rechenprogramm

1. Übersichtliche Darstellung des Netzwerkes
2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
3. Zweigeströme durchnummerieren, Richtung kann beliebig festgelegt werden.
4. k-1 Knotengleichungen aufstellen.
5. Aufstellen der unabhängigen z-k+1 Maschengleichungen (vollständiger Baum)
6. Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems.

Aufgabe

Netzwerkberechnungsverfahren
Führen Sie bei den folgenden beiden Netzwerken eine Zweigstromanalyse durch. Bestimmen Sie die eingezeichneten Zweigströme.

a)

b)

c)

Maschenstromanalyse

• Voraussetzung:
  • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
  • Alle Stromquelle müssen in Spannungsquellen umgewandelt werden.
• Verfahren:
  • Vereinfachung der Zweigstromanalyse mit dem Ziel die Dimension des linearen Gleichungssystem zu senken.
  • Einführung neuer Ströme → Maschenströme
  • Nur z-k+1 Gleichungen werden benötigt.

Rechenprogramm

1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
3. Wählen von z-k+1 Maschen (vollständiger Baum)
4. Aufstellen der Maschengleichungen mit Maschenströmen.
5. Lösen des Gleichungssystems
6. Zweigströme ergeben sich aus der vorzeichenrichten Überlagerung der Maschenströme.

Knotenspannungsanalyse

• Voraussetzung:
  • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
  • Alle Spannungsquellen müssen in Stromquellen umgewandelt werden.
  • ggf. können alle Widerstände in Leitwerte umgewandelt werden.
• Verfahren:
  • Vereinfachung der Zweigstromanalyse mit dem Ziel die Dimension des linearen Gleichungssystem zu senken.
  • Einführung von Knotenspannungen (Potential eines Knotens gegen Masse)
  • Nur k-1 Gleichungen werden benötigt.

Rechenprogramm

1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
3. Festlegen eines Knotenpunktes als Bezugsknoten 0 / „Masse“
4. Einzeichnen der Knotenspannung von jedem anderen Knoten zum Bezugsknoten (z. B. U_a, U_b, ...)
5. Aufstellen einer Gleichung für jeden Zweigstrom, die nur von den Knotenspannungen abhängig sind.
6. Aufstellen k-1 Knotengleichungen, Einsetzen der Zweigströme.
7. Lösen des Gleichungssystems
8. Zweigströme aus den in 4. erstellten Gleichungen berechnen.

Überlagerungsverfahren (Superpositionsgesetz)

• Voraussetzung:
  • Alle Bauelemente des Netzwerks sind linear.
  • Keine Leistungsberechnung (nicht linear)
• Verfahren:
  • Berechnung des Netzwerkes nur mit einfach Gesetzen der Elektrotechnik (Ohmsches Gesetz, Stromteiler, Spannungsteiler)
  • Die Wirkung jeder Quelle auf das Netzwerk wird einzeln bestimmt.
  • Die ermittelten Teilströme jeder Einzelbetrachtung werden vorzeichenrichtig überlagert.

Rechenprogramm

1. Darstellung des Netzwerkes, Beschriften
2. Strom- und Spannungsquellen mit Zählpfeilen versehen
3. Für jede Quelle im Netzwerk:
   1. Alle Quellen außer die ausgewählte Quelle werden deaktiviert.
      Spannungsquelle → Kurzschluss, Stromquelle → offene Leitung
   2. Alle Teilströme (I₁^I, I₂^I, ...) werden vorzeichenrichtig bestimmt.
4. Die Teilströme werden zusammenaddiert und es ergeben sich die Zweigströme:
   I₁ = I₁^I + I₁^II + ...
   I₂ = I₂^I + I₂^II + ...
   ...

Aufgabe

Netzwerk für Überlagerungsverfahren
Berechnen Sie alle Zweigströme mit dem Überlagerungsverfahren.