Zweipoltheorie

Lineare Zweipole

• Ein Grundstromkreis ist aus einem aktiven und einem passiven Zweipol aufgebaut.
• Durch die direkte Verbindung sind Strom und Spannung beider Zweipole gleichgesetzt.

Passiver Zweipol (PZP)

• Kennlinien von PZP enthalten immer den Punkt (0, 0)
• In der Abbildung sind die Kennlinien der folgenden Bauelemente angegeben:
  1. Heißleiter (z. B. Thermistor)
  2. Lineare Kennlinie - Ohmscher Widerstand
  3. Kaltleiter (z. B. Glühlampe)

• In der E-Technik werden in der Regel nur lineare Bauelemente betrachtet, daher gilt:

  \[ I(U) = \frac{1}{R\ped a}\cdot U \]

• Es gilt: \(R_1 < R_2 < R_3\)
• Je kleiner der Widerstand, desto steiler die Kennlinie.

Aktiver Zweipol (AZP)

• In der Realität treten nicht-lineare Kennlinien auf.
• Folgend sollen nur lineare Kennlinien betrachtet werden.
• Ein linearer AZP lässt sich sowohl mit Hilfe einer Spannungsquelle als mit einer Stromquelle darstellten.

Spannungsquelle-Ersatzschaltung

• Der Innenwiderstand der Spannungsquelle R_i wird durch einen Reihenwiderstand dargestellt.

Stromquellen-Ersatzschaltung

• Der Innenwiderstand der Stromquelle R_i wird durch einen Parallelwiderstand dargestellt.

Grundstromkreis

• Wird nun ein beliebiger AZP mit einem beliebigen PZP verbunden, so entsteht der Grundstromkreis.
• Durch die direkte Verbindung sind Strom und Spannung beider Zweipole gleichgesetzt.
• Der Arbeitspunkt I(U) ergibt sich durch den Schnittpunkt beider Kennlinien.

Aufgabe

Grundstromkreis mit Spannungsquelle
Es sei ein Grundstromkreis mit einer Spannungsquelle U_q = 10 V, R_i = 100 Ω und einem Lastwiderstand R_a = 200 Ω gegeben.

a) Zeichnen Sie den Schaltplan.
b) Bestimmen Sie rechnerisch den Arbeitspunkt I, U, den Kurzschlussstrom I_k und die Leerlaufspannung U_l.
c) Zeichnen Sie die Kennlinie des AZP und des PZP. Kennzeichnen Sie den Arbeitspunkt.
d) Berechnen Sie die am Lastwiderstand umgesetzte Leistung P_a, am Innenwiderstand P_i, die Gesamtleistung P_ges und den Wirkungsgrad η
e) Welchen Wert muss der Lastwiderstand R_a annehmen, damit die Nutzleistung P_a maximal wird. (U_q und R_i bleiben dabei konstant.)

Aufgabe

Grundstromkreis mit Stromquelle
Es sei ein Grundstromkreis mit einer Stromquelle I_q = 20 mA, R_i = 500 Ω und einem Lastwiderstand R_a = 220 Ω gegeben.

a) Zeichnen Sie den Schaltplan.
b) Bestimmen Sie rechnerisch den Arbeitspunkt I, U, den Kurzschlussstrom I_k und die Leerlaufspannung U_l.
c) Zeichnen Sie die Kennlinie des AZP und des PZP. Kennzeichnen Sie den Arbeitspunkt.
d) Berechnen Sie die am Lastwiderstand umgesetzte Leistung P_a, am Innenwiderstand P_i, die Gesamtleistung P_ges und den Wirkungsgrad η

Zusammenfassen von Schaltungen mit Quellen

Umwandlung der Ersatzschaltungen

• Beide Ersatzschaltungen haben die gleiche Kennlinie.
• Wenn sichergestellt wird, dass sich die Schaltung im Leerlauf und Kurzschluss gleichverhält, so ist die lineare Kennlinie identisch.

	Spannungsquelle	Stromquelle
Leerlauf	\(U\ped l = U\ped q\)	\(U\ped l = I\ped q \cdot R\ped i\)
Kurzschluss	\(I\ped k = \frac{U\ped q}{R\ped i}\)	\(I\ped k = I\ped q\)

Zusammenfassen von Quellen

• In Reihe geschaltete Spannungsquellen können zusammengefasst werden. Die Quellspannung der Gesamtquelle ergibt sich dabei aus der Summe der Quellspannung der Einzelquellen. Die Richtung der Quellen ist dabei zu beachten!

  \[ U\ped{q, ges} = U\ped{q,1} + U\ped{q,2} + \dots + U\ped{q,n} \]

• Parallel geschaltete Stromquellen können zusammengefasst werden. Der Quellstrom der Gesamtquelle ergibt sich dabei aus der Summe der Quellströme der Einzelquellen. Die Richtung der Quellen ist dabei zu beachten!

  \[ I\ped{q, ges} = I\ped{q,1} + I\ped{q,2} + \dots + I\ped{q,n} \]

• Da der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle null ist, haben Parallelwiderstände zur Spannungsquelle keine Wirkung.
• Da der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle unendlich hoch ist, haben Reihenwiderstände zur Stromquelle keine Wirkung.
• Die Parallelschaltung von Spannungsquellen bzw. die Reihenschaltung von Stromquellen kann nicht sofort zusammenfasst werden. Die Quellen müssen zuvor umgewandelt werden.

Aufgabe

Zusammenfassen AZP
Fassen Sie die folgenden Quellen zu einer Strom- oder Spannungsquelle mit Innenwiderstand zusammen. Geben Sie für jede Schaltung U_q, I_q und R_i an.

a)

b)

Netzwerkanalyseverfahren - Zweipoltheorie

• Problemstellung: Ein oder wenige Zweigströme eines elektrischen Netzwerkes müssen bestimmt werden.
• Vorgehensweise:
  • Das Netzwerk wird in den aktiven und passiven Zweipol unterteilt.
  • Der passive Zweipol besteht lediglich aus dem vom gesuchten Strom durchflossenen Widerstand.
  • Der aktive Zweipol wird zusammengefasst zu einer Quelle mit Innenwiderstand.
  • Berechnungen des Grundstromkreises werden angewandt, um den gesuchten Zweigstrom zu berechnen.

Aufgabe

Zweipoltheorie
Bestimmen Sie den Teilstrom I₃ mit Anwendung der Zweipoltheorie.

Aufgabe

Zweipoltheorie
Bestimmen Sie den Teilstrom I₃ mit Anwendung der Zweipoltheorie.