Zeitdiskrete LTI-Systeme

Differenzengleichungen

\[ b_0 y[k]+b_1 y[k-1] + \dots + b_n y[k-n] = a_0 u[k]+a_1 u[k-1] + \dots + a_m u[k-m] \]

\[ \text{Beispiel: } y[k] = u[k]-u[k-1]\]

Berechnung des Ausgangssignals

Differenzengleichung nach \( y[k]\) umstellen.

\[\text{Beispiel: } u[k] = \delta [k] = \{1,0,0,\dots \} \quad\text{ d. h. } y[k] = g[k] \]

\[ y[0] = u[0]-u[-1]= 1-0 = 1 \]

\[ y[1] = u[1]-u[0]= 0-1 = -1 \]

\[ y[2] = u[2]-u[1]= 0-0 = 0 \]

Berechnung der Übertragungsfunktion aus der Diffgl.

Mit Hilfe der Z-Transformation:

\[ \mathcal Z \{ x[k-k_0] \} = z^{-k_0} X(z) \]

\[ \text{Beispiel: } y[k] = u[k]-u[k-1]\]

\[ Y(z) = U(z) - z^{-1} U(z) = U(z) (1-z^{-1})\]

\[ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{1-z^{-1}}{1} = \frac{z-1}{z}\]

Darstellung eines Signals als Impulsfolge

\[ \text{Beispiel: } x[k] = \{1,2,3,2,0,0,\dots \}\]

\[ x[k] = \delta[k] + 2 \delta[k-1] + 3\delta[k-2]+ 2\delta[k-3] \]

Übertragungsfunktion aus der Gewichtsfolge

\[ \mathcal Z \{ g[k]\} = G(z) \]

Die z-transformierte Gewichtsfolge ist die Übertragungsfunktion.

1. \(g[k]\) darstellen als Summe von Dirac-Impulse

2. Z-Transformation:

   \[ \mathcal Z \{ \delta [k] \} = 1\]
   \[ \mathcal Z \{ \delta [k-k_0] \} = z^{-k_0}\]

\[ \text{Beispiel: } g[k] = \{ 0.25, 0.5, 0.25, 0, 0, \dots \} \]

\[ g[k] = 0.25 \delta [k] + 0.5 \delta [k-1] + 0.25 \delta [k-2]\]

\[ G(z) = 0.25 + 0.5 z^{-1} + 0.25 z^{-2}\]

\[ G(z) = \frac{0.25 z^2 + 0.5 z + 0.25}{z^2}\]

Umrechnung Gewichtsfolge und Übergangsfolge

\[ \text{Analogon zeitkontinuierlich: } g(t) = \frac{\rm d}{\mathrm dt} h(t)\]

\[ g[k] = h[k] - h[k-1] \quad\text{Differenz}\]

\[ h[k] = \sum_{\nu=0}^k g[\nu] \quad\text{Summe}\]

Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion

\[ \text{Beispiel: } G(z) = \frac{z-1}{z}\]

\[ \text{Nullstelle: }z_1 = 1 \]

\[ \text{Polstelle: }z_1 = 0 \]

Stabiltät

1. Möglichkeit: Betrachtung von \(g[k]\) oder \(h[k]\)
   Ein zeitdiskretes LTI-System ist stabil, wenn gilt:

   \[ \sum_{i=0}^\infty |g[i]| = \sum_{i=0}^\infty |h[i] - h[i-1]| < \infty \]

2. Möglichkeit: Betrachtung der Polstellen der Übertragungsfunktion
   Ein zeitdiskretes LTI-System ist stabil, wenn für alle Polstellen der Übertragungsfunktion gilt:

   \[ |z_i| = \sqrt{\mathrm{Re}^2\{z_i\} + \mathrm{Im}^2\{z_i\} } < 1 \]

IIR oder FIR

IIR: infinite impulse response, rekursives System \
DGL: mindestes ein \( b_i \neq 0 \) für \( i= 1, 2, 3, \dots \) oder \(g[k]\) unendlich lang \
Beispiel: \( y[k] + 2y[k-1] = u[k] - 4u[k-1] \)

FIR: finite impulse response, nicht-rekursives System \
DGL: \( b_n = b_{n-1} = \dots = b_1 = 0 \) oder \(g[k]\) ist endlich \
Beispiel: \( y[k] = u[k] - 4u[k-1] \)

Endwertsatz

\[ \lim_{k \to \infty} f[k] = \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) \]

\[ \text{Beispiel: } H(z) = \frac{z^2-3}{z^2-3z+2} = \frac{z^2-3}{(z-1)(z-2)} \]

\[ \lim_{k \to \infty} f[k] = \lim_{z \to 1} \frac{(z-1)(z^2-3)}{(z-1)(z-2)} = \frac{1-3}{1-2} = 2 \]