Laplace-Transformation und Systembetrachtungen
Regeln für die Laplace-Transformation
Linearitätssatz
Korrespondenztabelle
siehe Vorlesung 3.5, Seite 6, 7
Beispiel
Standardsignale als Eingangssignal
Standardsignal | Dirac-Impuls | Einheitssprung |
---|---|---|
Eingangsignal | \(u(t) = \delta(t)\) | \(u(t)=\esprung(t)\) |
\(U(s) = 1\) | \(U(s)=\frac{1}{s}\) | |
Ausgangssignal | Gewichtsfunktion | Übergangsfunktion |
\(y(t)=g(t)\) | \( y(t)=h(t) \) | |
Berechnung von G(s) | \(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{G(s)}{1}\) | \(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{H(s)}{\frac{1}{s}}=s\cdot H(s)\) |
Eigenbewegung des Systems
Charakteristisches Polynom aus der DGL
Beispiel: \( 4 \ddot y + 5 \dot y + 3y(t) = 2 \dot u + u(t) \)
- Homogene DGL: \( 4 \ddot y + 5 \dot y + 3y(t) = 0 \)
- Ansatz: \( y = e^{s\cdot t} \)
- Ableitungen: \( \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dt}y(t) = s^n \cdot e^{s\cdot t} \)
- Einsetzen: \( 4s^2 \cdot e^{s t} + 5s \cdot e^{s t} + 3 \cdot e^{s t}=0 \)
- Charakteristisches Polynom: \( 4s^2+5s+3=0 \)
Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Entspricht den Polstellen der Übertragungsfunktion
- Einfache Nullstellen
- Mehrfache Nullstellen
- Konjugiert komplexe Nullstellen
Modi des Systems
Das System hat genau so viele Modi, wie es Nullstellen gibt.
Einfache Nullstelle (\(s_1\)): \(y_1(t) = e^{s_1 t} \cdot \esprung(t)\)
Mehrfache Nullstelle (\(s_2=s_3=s_4\)): \( y_2 = e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\), \( y_3 = t \cdot e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\), \( y_4 = t^2\cdot e^{s_2 t} \cdot \esprung(t)\)
Konj. kompl. Nullstellen (\( s_{5,6} = \sigma_1 \pm j\omega_1 \)):
Eigenbewegung in allgemeiner Form
Linearkombination der Modi
\(\(y_{eigen}(t) = ( C_1 \cdot e^{s_1 t} + C_2 \cdot e^{s_2 t} + \dots ) \cdot \esprung(t)\)\)
Eigenbewegung mit gegebenen Anfangswerten
- Allgemeine Eigenbewegung mehrfach ableiten
- Anfangswertbedingungen einsetzen
- Gleichungssystem nach \( C_1, C_2, \)... auflösen
Beispiel
E/A-Stabilität
Ein LTI-System ist genau dann E/A-stabil, wenn für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms gilt: \( \mathcal{Re}\{s_i\}<0 \)