Blockschaltbilder
Operationen mit Blockschaltbildern
Bedeutung
Blockschaltbild
\[ x_2 = k_1 \cdot x_1 \]
Abzweigung
\[ x_1=x_2=x_3 \]
Summationsstelle
\[ x_3 = x_1 + x_2 \]
Subtraktionsstelle
\[x_3 = x_1 - x_2\]
Reihenschaltung
\[x_2 = k_1 \cdot x_1 \qquad x_3 = k_2 \cdot x_2\]
\[x_3 = (k_1 \cdot k_2) \cdot x_1\]
Parallelschaltung
\[x_2 = k_1 \cdot x_1 \qquad x_3 = k_2 \cdot x_1 \qquad x_4 = x_2+x_3\]
\[x_4 = (k_1 + k_2) \cdot x_1\]
Rückkopplung
\[x_2 = \frac{k_1}{1\mp k_1\cdot k_2} \cdot x_1\]
Differentialgleichungen als Blockschaltbilder
Beispiel
\[ 5 \dot y + 3y(t) = 2 \dot u + u(t) \]
Nach der höchsten Ableitung des Ausgangssignales umstellen:
\[ \dot y = \frac{1}{5} (2\dot u + u - 3y) \]
Integrieren:
\[ y = \frac{1}{5} \left(2 u + \int{u(t)}\,\mathrm d t - 3 \int{y(t)}\,\mathrm dt \right) \]
Differentialgleichungen als Übertragungsfunktionen
Laplace-Transformation
\[ \mathcal{L} \left\{ \frac{\mathrm d^n}{\mathrm d t^n} x(t) \right\} = s^n \cdot X(s) \]
Beispiel
\[4 \ddot y + 5 \dot y + 3y(t) = 2 \dot u + u(t) \]
Laplace-Transformation:
\[ 4 s^2 \cdot Y(s) + 5 s \cdot Y(s) + 3 \cdot Y(s) = 2s\cdot U(s) + U(s) \]
\[ (4s^2 + 5s + 3) \cdot Y(s) = (2s+1) \cdot U(s) \]
\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2s+1}{4s^2 + 5s + 3} \]