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Fehlerrechnung

Arten von Fehlern

... nach Entstehung

Systematische Fehler
Differenz des Messwertes, der bei jeder Messung unter gleichen Bedingungen im gleichem Betrag und Vorzeichen auftritt und durch eine Justage des Messsystems kompensiert werden kann.
z. B. Fehler in der Kennlinie (Empfindlichkeitsfehler, Nullpunktfehler)

Zufällige Fehler
Fehler, die bei jeder Messung zufällig auftreten können. Betrag und Vorzeichen des Fehlers kann nicht bestimmt werden und eine Kompensation ist nicht möglich.
z. B. Rauschen

alt:"Fehlerarten", w:50

... nach Berechnung

Additive Fehler

  • Fehler wirkt additiv auf den Messwert
  • Beispiel: Nullabweichung, Offset
  • absoluter Fehler \(\Delta x = \text{konst.}\)
  • relativer Fehler \(\delta_x = \frac{\Delta x}{x}\)abhängig vom Messwert
  • extrem großer relativer Fehler bei kleinen Messwerten
  • Normierung auf den Messbereich
    • Beispiel: 5% Nullpunktabweichung
    • \(\Delta x = 5\% \cdot \text{MB}\)

Multiplikative Fehler

  • Fehler wirkt multiplikativ auf den Messwert
  • Beispiel: Empfindlichkeitsabweichung
  • relativer Fehler \(\delta_x = \text{konst.}\)
  • absoluter Fehler \(\Delta x = \delta_x \cdot x\)abhängig vom Messwert
  • großer Messfehler bei großen Messwerten
  • Normierung auf Messwert
    • Beispiel: 5% Empfindlichkeitsabweichung
    • \(\Delta x = 5\% \cdot \text{MW}\)

Fehlerangaben bei Messgeräten

Fehler- und Genauigkeitsklasse

\[\Delta x = \text{FK} [\%] \cdot \text{MB} \]
  • Genauigkeitsklasse zum Vergleichen mehrere Messgeräte miteinander
  • Einfaches Hilfsmittel für eine schnelle grobe Schätzung der Messunsicherheit: \(\Delta x \approx \text{GK}[\%] \cdot \text{MB}\)

Beispiel: Anzeige 2,000 V, Messbereich: 10 V, GK=5
\(\Delta x = 5\% \cdot 10\text{ V}\)

Messgeräteangaben

\[\pm(5\%+2\text d)\]
  • 5 % vom Messwert (relativer Fehler)
  • 2 Digit (absoluter Fehler)

Beispiel: Anzeige = 2,000 V
\(\(\Delta x = 5\% \cdot 2 \text{ V} + 0,002 \text{ V}\)\)

Angaben mit Temperaturabhängigkeit

siehe Aufgabe 62

\(\text{MB} = 100 \text{ bar}\)
\(\text{MW} = 60 \text{ bar}\)
\(\text{TKN} = \text{Temperaturkoeffizient des Nullpunkt} = 1\% / 10 \text{ K}\)
\(\text{TKK} = \text{Temperaturkoeffizient der Empfindlichkeit} = 1\% / 10 \text{ K}\)
\(T_0 = 20 ^\circ \text C, T_{max} = 70 ^\circ \text C, T_{min} = -20 ^\circ \text C \to \Delta T = 50 \text{ K}\)

\[\Delta x = \text{TKN} \cdot \Delta T \cdot \text{MB} + \text{TKK} \cdot \Delta T \cdot \text{MW} \]

Fehlerfortpflanzung

Berechnung mit totalen Differential

\[y = f(x_1, x_2, ..., x_n)\]
\[\Delta y = \sum_{i=1}^{n}\left| \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot \Delta x_i \right| \]

Beispiel:

\[P=f(U,I)=U\cdot I\]
\[\Delta P = \left| \frac{\partial f}{\partial U} \cdot \Delta U \right| + \left| \frac{\partial f}{\partial I} \cdot \Delta I \right| = I\cdot \Delta U + U \cdot \Delta I\]

Vereinfachung bei Potenzprodukten

  • Viele physikalische Formeln lassen sich als Potenzprodukte darstellen

    \[y = f(x_1, x_2, ..., x_n) = k \cdot \prod_{i=1}^n x_i^{e_i} \]

    Beispiel:

    \[y = \frac{5 \pi \cdot a \cdot b^2}{d^3} \cdot \sqrt c = 5\pi \cdot a \cdot b^2 \cdot c^{1/2} \cdot d^{-3} \]

  • Das totale Differential kann angewendet, um die folgenden Fehlerformel zu erstellen:

    \[\delta_y = \frac{\Delta y}{y} = \sum_{i=1}^n \delta_{x_i} \cdot |e_i| \]

    Am Beispiel:

    \[\delta_y = 1 \cdot \delta_a + 2 \cdot \delta_b + \frac{1}{2} \cdot \delta_c + 3 \cdot \delta_d\]

  • Am Beispiel der Leistungsberechnung:

    \[\delta_P = \delta_U + \delta_I \]

Fehlerfortpflanzung bei linearen Funktionen

\[y = k \cdot x \]
\[\delta_y = \delta_k + \delta_x\]

Mit \(\delta_k = 0\)(kein Empfindlichkeitsfehler) folgt:

\[\delta_y = \delta_x\]

Fehlerberechnung ADC

\(\nu\): Bitbreite des ADC
\(n = 2^\nu\): Anzahl der Intervalle
\(\Delta = U_{max} \cdot \frac{1}{n}\): Intervallbreite
\(\Delta U = \frac{1}{2} \cdot \Delta\): Quantisierungsfehler

Zusätzlich zum Quantisierungsfehler können die Kennlinienfehler kommen!

Aufgabe 69

Aufgaben

Aufgabe 45, 87, 92, 43

Beispiel
Zwei Druckmessgeräte mit MB=10 bar und GK=0,3.
Differenzdruck aus den Messwerte \(p_1 = 9{,}00 \text{ bar}\) und \(p_2 = 9{,}05 \text{ bar}\)soll berechnet werden.
Gesucht: Messfehler des Differenzdruckes